1.4.2 Статистическая схема вычисления вероятности

Рассмотрим некоторый эксперимент, который можно проводить много-

кратно и в одинаковых условиях. В результате этих испытаний может по-

явиться или не появиться событие A . Относительной частотой со-

бытия A , обычно обозначаемой как P ∗₍A) , называют отношение числа

опытов n_A, в которых появилось событие A , к общему числу опытов n :

P ∗₍A) = n_A/n.

Многочисленные практические примеры показывают, что относительная ча-

стота обладает свойством статистической устойчивости , а именно,

тем, что ее значения с увеличением числа опытов стабилизируются около

некоторого постоянного числа. Так, например, в опыте Ж. Бюффона при 4040

бросаниях однородной и симметричной монеты относительная частота появ-

ления герба оказалась равной 0,5069. Позднее К. Пирсоном были проведены

12000 и 24000 бросаний, в которых относительная частота оказалась равной

19

0,5015 и 0,5006. Из данных опытов видно, что относительная частота собы-

тия позволяет достаточно точно оценить объективную вероятность данного

события. Отметим, также, что относительная частота при любом числе опы-

тов удовлетворяет аксиоматике Колмогорова, что позволяет использовать ее

при необходимости в качестве теоретической вероятности события. Так, на

основе обработки многочисленных демографических данных было получено,

что относительная частота рождения мальчиков равна 0,51, и данное число в

последующих расчетах рассматривают как вероятность рождения мальчика.

1.4.3 Схема вычисления субъективной вероятности

Результаты спортивных соревнований оценивают судьи, оценки выстав-

ляют преподаватели, тенденции развития экономики, техники, образования и

науки оценивают специалисты в указанных отраслях, исходы выборов в пар-

ламент и результаты военных операций прогнозируют политические обозре-

ватели и военные аналитики и т. д. В тех случаях, когда к анализу указанных

явлений привлекаются статистические методы все указанные выше специа-

листы называются экспертами , а их мнения и прогнозы, учитывающие

аналогичные ситуации, знания и опыт называются экспертными оцен-

ками . Для того, чтобы воспользоваться аппаратом теории вероятностей на

основе экспертных оценок формируют, так называемые, субъективные ве-

роятности , удовлетворяющие по построению аксиоматике Колмогорова.

И с формальной точки зрения, и с точки зрения объективности и полезно-

сти для последующего применения, данная схема ничем не уступает любой

раннее рассмотренной схеме.

1.5 Условная вероятность. Независимость событий. Формулы сло-

жения и умножения вероятностей

Одним из основных понятий при аксиоматическом построении теории

вероятностей является понятие условной вероятности. Именно условная ве-

роятность оценивает то изменение в вероятности наступления некоторого со-

бытия, которое происходит после получения дополнительной информации.

Рассмотрим два события A и B . Пусть стало известно, что событие A про-

изошло, но неизвестно, какой конкретно элементарный исход реализовался.

Что можно сказать в этом случае о вероятности события B ?

Определение условной вероятности. Условной вероятностью со-

бытия B при условии появления события A называют отношение веро-

20

ятности произведения событий A и B к вероятности события A , т. е.

P (AB)

P_A(B) = , P (A)6= 0.

P (A)

Покажем на простых примерах, что вычисленная таким образом условная

вероятность совпадает с интуитивно предполагаемой.

Пример. Пусть событие A выпадение нечетного числа очков на

игральной кости, а событие B выпадение четного числа очков.

Решение. Поскольку события A и B несовместны, то при наступле-

нии события A событие B не может произойти и его условная вероятность

равна нулю. Такую же условную вероятность события B получим по опреде-

ляющей формуле, так как AB = ∅ , P (∅) = 0 и в числителе стоит ноль.

Пример. Событие A выпадение 4 или 6 очков на игральной кости,

а событие B выпадение четного числа очков.

Решение. Так как A внутри B , то при наступлении события A собы-

тие B обязательно произойдет, т. е. событие B имеет условную вероятность,

равную единице. Такую же условную вероятность события B получим по

определяющей формуле, так как AB = A и в числителе и знаменателе фор-

мулы стоят одинаковые вероятности, равные P (A) .

Пример. Пусть событие A = {4, 5, 6} появление более трех очков

на игральной кости, а событие B выпадение четного числа очков.

Решение. Если событие A наступило, то произошел один из трех эле-

ментарных исходов: выпало 4 , 5 или 6 очков. Но из этих трех исходов только

два исхода ѕвыпадение четверкиї и ѕвыпадение шестеркиї влекут за собой

появление события B . В соответствии с классической схемой в данном слу-

чае естественно определить условную вероятность события B числом 2/3 .

Такую же условную вероятность события B получим по определяющей фор-

муле, так как P (AB) = P {4, 6} = 2/6 , P (A) = P {4, 5, 6} = 3/6 . В этом

примере условная вероятность события B совпадает с безусловной.

Из приведенных примеров видно, что условная вероятность может, как

совпадать с безусловной вероятностью, так и быть меньше или больше нее.

На практике часто происходит так, что известны или достаточно просто опре-

деляются именно условные вероятности и с их помощью вычисляются необ-

ходимые безусловные вероятности.

Правило умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению безуслов-

ной вероятности одного из них на условную вероятность другого, при усло-

21

вии, что первое событие произошло

P (AB) = P (A) · P_A(B) = P (B) · P_B(A) ; P (A) > 0, P (B) > 0.

Данное правило следует из определения условной вероятности.

Применяя правило умножения индуктивно получают формулу умно-

жения вероятностей для системы событий в следующем виде:

P (A₁A₂· · · A_n) = P (A₁) · P_A1⁽A₂) · P_A1A₂(A₃) · · · P_A1A₂···A_n−1⁽A_n).

Пример. На семи карточках написаны буквы к, к, о, о, о, т, т . Из

них последовательно выбираются три карточки и кладутся слева направо.

Найдем вероятность того, что образуется слово ѕкотї (событие A ).

Решение. Воспользуемся формулой умножения вероятностей и введем

события: A₁={на первой вынутой карточке написана буква к }, A₂={ на вто-

рой буква о }, A₃={ на третьей буква т }. Тогда событие A представля-

ет собой произведение событий A₁A₂A₃и находится по формуле умножения

вероятностей для трех событий P (A₁A₂A₃) = P (A₁) · P_A1⁽A₂) · P_A1A₂(A₃) .

В соответствии с классической схемой, безусловная вероятность P (A₁)

определяется как отношение числа карточек, на которых написана буква к , к

общему числу карточек, т. е. P (A₁) = 2/7 . Далее, если событие A₁произой-

дет, то у нас останется шесть карточек и на трех из них написана буква о . По-

этому P_A1⁽A₂) = 1/2 . Наконец, если произойдут события A₁и A₂, то из пяти

оставшихся карточек на двух написана буква т , и значит P_A1^A2⁽A₃) = 2/5 .

Окончательно получаем

P (A) = P (A₁A₂A₃) = (2/7) · (1/2) · (2/5) = (2/35).

Определение независимости двух событий. События A и B на-

зываются независимыми, если вероятность произведения данных событий

равна произведению их вероятностей

P (AB) = P (A) · P (B) .

Для двух независимых событий условная вероятность каждого из событий

равна безусловной вероятности, что вытекает из следующих соотношений:

P_A(B ) =

P_B(A) =

P (AB)

P (A)

P (AB)

P (B)

=

=

P (A) · P (B)

P (A)

P (A) · P (B)

P (B)

= P (B) , P (A)6= 0,

= P (A) , P (B)6= 0.

Таким образом, для независимых событий появление одного из событий

никак не влияет на вероятность появления другого. Иногда именно равенство

22

P_A(B ) = P (B) берут за исходное определение независиости события B от

события A . Однако, в данном руководстве использовано более симметричное

определение независимости, рассмотренное самим А.Н. Колмогоровым.

Пример. Проводится опыт, состоящий в двукратном подбрасывании

симметричной монеты. В этом случае пространство элементарных событий

состоит из четырех исходов Ω = { ГГ, ГР, РГ, РР } . Рассмотрим событие

A = { ГГ, ГР } ѕвыпадение герба при первом подбрасывании монетыї и

событие B = { ГГ, РГ } ѕвыпадение герба при втором подбрасыванииї.

Выясним зависимы или нет данные события.

Решение. Произведение событий ѕвыпадение герба при первом и

втором подбрасывании монетыї равно AB = { ГГ } . По классической схеме

вычисления вероятностей P (A) = P (B) = 1/2 , P (AB) = 1/4 . События A и

B независимы, поскольку выполняется условие P (AB) = P (A) · P (B) .

Для двух независимых событий формула вероятности произведе-

ния событий имеет следующий вид:

P (AB) = P (A) · P (B).

Пример. Покажем, что из независимости событий A и B следует неза-

висимость следующих пар событий: A и BЇ , AЇ и B , AЇ и BЇ .

Решение. Так как события A и B независимы, то справедливо условие

независимости P (AB) = P (A) · P (B) . Представим событие A в следующем

виде: A = AΩ = A(B + Ї ) = AB +ABЇ . Отсюда, используя аксиому сложения

и условие независимости событий A и B , получим:

P (A) = P (AB) + P (ABЇ) = P (A)P (B) + P (ABЇ).

Следовательно, P (ABЇ) = P (A)−P (A)P (B) = P (A)(1−P (B)) = P (A)P ( Ї ) ,

что доказывает независимость событий A и BЇ . Аналогично показывается,

независимость пар событий AЇ и B , AЇ и BЇ .

Нельзя смешивать понятия независимости и несовместности событий.

Для того, чтобы проверить совместны или нет два события вообще не нужна

информация об их вероятностях, а достаточно выяснить имеют или не имеют

данные множества общие элементы.

Решение многих практических задач значительно упрощается, если из

постановки задачи ясно, что события независимы. Однако, в общем случае

необходима проверка независимости событий в соответствии с определением.

Пример. Покажем, что два несовместных события A и B с положи-

тельными вероятностями обязательно являются зависимыми.

Решение. Так как события A и B несовместны, то их пересечение

равно пустому множеству. Условие независимости P (AB) = P (A) · P (B)

23

для данных множеств не выполняется, так как левая часть условия равна

нулю ( P (AB) = P (∅) = 0 ), а правая часть больше нуля.

По закону контрпозиции из доказанного утверждения следует, что неза-

висимые события с положительными вероятностями всегда совместны.

Определение взаимной независимости событий. Система из n

событий называется взаимно независимой, если для любой ее подсистемы

из 2 ≤ k ≤ n событий справедливо следующее утверждение: ѕВероятность

произведения событий равна произведению их вероятностейї.

Например, для первых 2 ≤ k ≤ n событий имеет место формула

P (A₁A₂. . . A_k) = P (A₁) · P (A₂) · · · · · P (A_k).

Из взаимной независимости событий непосредственно из определения

следует попарная независимость событий. Обратное утверждение неверно,

что доказывается с помощью следующего контрпримера .

Рассмотрим три попарно независимых события A , B , C такие, что

P (A) > 0 , P (B) > 0 , P (C ) > 0 и ABC = ∅ . Для данных событий усло-

вие независимости P (ABC ) = P (A) · P (B ) · P (C) не выполняется, так как

P (ABC ) = P (∅) = 0 , а P (A) · P (B) · P (C) > 0 .

Для системы из n взаимно независимых событий формула вероятности

произведения событий имеет вид:

P (A₁A₂. . . A_n) = P (A₁) · P (A₂) · · · · · P (A_n).

Найдем далее вероятность суммы взаимно независимых событий. Пусть

A = A₁∪ A₂∪ . . . ∪ A_n.

Тогда в соответствии с формулой де Моргана AЇ = ЇA₁AЇ₂. . . AЇ_n. Если события

A₁, A₂, . . . , A_nнезависимы, то противоположные им события также незави-

симы, и справедлива формула P ( Ї) = P ( Ї₁) · P ( Ї₂) . . . P ( Ї_n) .

Отсюда, окончательно, получаем формулу для вероятности объедине-

ния нескольких независимых событий в следующем виде:

P (A) = 1 − P ( Ї) = 1 − (1 − P (A₁)) · (1 − P (A₂)) . . . (1 − P (A_k)) .

Пример. Пусть некоторая система состоит из нескольких элементов.

Назовем соединение элементов последовательным , если система работает

только при работе всех ее элементов и система отказывает, если отказывает

хотя бы один из ее элементов. Если отказ системы происходит при одновре-

менном отказе всех входящих в нее элементов, то такое соединение элементов

называют параллельным .

24

Найдем надежность системы и вероятность ее отказа при последова-

тельном и параллельном соединении элементов.

Решение. Полагая, что нормальная работа элементов взаимно неза-

висимы, вероятность функционирования системы (надежность системы) при

последовательном соединении можно выразить через вероятности работы от-

дельных элементов (надежности элементов) по следующей формуле:

P (S) = P (A₁) · P (A₂) · · · · · P (A_n).

Если в конкретном примере заданы вероятности отказов элементов и требует-

ся вычислить вероятность отказа системы, то из предшествующей формулы

выводится формула вычисления вероятности отказа системы:

P ( Ї) = 1 − P (S) = 1 − P (A₁) · P (A₂) · · · · · P (A_n) =

= 1 −^[1 − P ( Ї₁)^]·^[1 − P ( Ї₂)^]· · ·^[1 − P ( Ї_n)^].

Полагая,что отказы элементов взаимно независимы, вероятность отказа

системы при параллельном соединении рассчитывают по формуле

P ( Ї) = P ( Ї₁) · P ( Ї₂) · · · · · P ( Ї_n).

Если по условию примера заданы вероятности безотказной работы элементов

и требуется вычислить надежность системы, то из предшествующей формулы

выводится формула вычисления вероятности безотказной работы системы:

P (S ) = 1 − P ( Ї) = 1 − P ( Ї₁) · P ( Ї₂) · · · · · P ( Ї_n) =

= 1 − [1 − P (A₁)] · [1 − P (A₂)] · · · [1 − P (A_n)] .

Если система имеет достаточно сложную структуру, то ее разбивают

на блоки, состоящие из элементов, соединенных только последовательно или

параллельно, и вычисляют вероятности отказов этих блоков, пользуясь обе-

ими формулами. Окончательно вероятность отказа системы рассчитывают

по одной из двух приведенных формул, рассматривая в качестве элементов

системы соответствующие блоки.