- •1 Случайные события
- •1.1 Основные понятия и определения
- •1.2 Аксиомы теории вероятностей
- •1.3 Классическая схема вычисления вероятностей
- •1.3.1 Декартово произведение множеств и правило умножения
- •1.3.2 Размещения и перестановки
- •1.3.3 Сочетания при выборе с возвращением и без возвращения
- •1.3.4 Схема упорядоченных разбиений множества
- •1.4 Геометрическая, статистическая и экспертная схемы расчета
- •1.4.1 Геометрическая схема вычисления вероятности
- •1.4.2 Статистическая схема вычисления вероятности
- •1.4.3 Схема вычисления субъективной вероятности
- •1.5 Условная вероятность. Независимость событий. Формулы сло-
- •1.6 Формула полной вероятности и формулы Байеса
- •2 Случайные величины
- •2.1 Cлучайная величина и ее функция распределения
- •2.2 Дискретная случайная величина
- •2.2.1 Дискретный закон распределения
- •2.2.2 Числовые характеристики дискретного распределения
- •2.2.3 Производящая функция вероятностей
- •2.2.4 Биномиальное распределение
- •2.2.5 Распределение Пуассона
- •2.2.6 Геометрическое распределение
- •2.3 Непрерывные случайные величины
- •2.3.1 Функция распределения и плотность распределения
- •2.3.2 Числовые характеристики непрерывного распределения
- •2.3.3 Равномерное распределение
- •2.3.4 Нормальное распределение
- •2.3.5 Показательное распределение
- •2.4 Функция от случайной величины
- •3 Случайные векторы
- •3.1 Общие свойства случайного вектора
- •3.2 Случайные векторы дискретного типа
- •3.3 Непрерывные случайные векторы
- •4 Предельные теоремы
- •4.1 Закон больших чисел
- •4.2 Центральная предельная теорема
- •5 Элементы математической статистики
- •5.1 Выборка и выборочные законы распределения
- •5.2 Точечные оценки числовых характеристик случайных величин
- •5.3 Интервальные оценки
- •5.4 Проверка статистических гипотез
2.2.4 Биномиальное распределение
Случайная величина имеет биномиальное распределение с параметра-
ми n и p , если она принимает значения 0, 1, 2, . . . , n c вероятностями
P (X = k) = pk= Cnkpkqn−k,k = 0, 1, . . . , n; q = 1 − p.
Данные вероятности называют биномиальными, поскольку они являются
n
членами разложени бинома Ньютона (q + p)n= ∑ Cnkpkqn−k , а формулу
k=0
вычисления биномиальных вероятностей называют формулой Бернулли.
На Рис. 1 представлен график биномиального распределения при зна-
чениях параметров n = 10 , p = 0, 1 .
Рис. 1
Биномиальная случайная величина обычно рассматривается в рамках
схемы Бернулли, когда проводятся n независимых испытаний, в каждом
из которых интересующее наблюдателя событие A (ѕУспехї) появляется с
вероятностью p и не появляется AЇ (ѕОтказї) с вероятностью q = 1 − p .
В данной схеме параметр биномиального распределения p является вероят-
ностью ѕУспехаї, а значение q = 1 − p является вероятностью ѕОтказаї.
42
Изменяя значения параметров n и p переходят от одного конкретного бино-
миального распределения к другому.
В теории надежности биномиальное распределение используется при
анализе испытаний изделий по схеме ѕУспех-Отказї, в задачах контроля ка-
чества продукции при выборочном контроле партии из n приборов, в бал-
листике при оценке числа попаданий в цель и т. д.
Биномиальная случайная величина Bn,p(ω) задает число появлений со-
бытия A в n независимых испытаниях и, по общему определению случайной
величины, является отображением пространства элементарных событий Ω в
числовое множество {0, 1, 2, . . . , n} . Если обозначить отказ при некотором
испытании цифрой 0 , а успех цифрой 1 , то каждый элемент простран-
ства Ω будет представлять собой конечную последовательность из нулей и
единиц длиной n , т. е. пространство Ω будет иметь вид:
Ω = {(0, 0, . . . , 0, 0), (0, 0, . . . , 0, 1), (0, 0, . . . , 1, 0), . . . , (1, 1, . . . , 1, 1)}.
Вероятность любого соединения, содержащего k успехов и, соответственно,
n − k отказов подсчитывается по формуле умножения независимых событий
и равна pkqn−k . Данные соединения попарно несовместны, а их количество
равно числу способов расставить k единиц на n местах, т. е. числу сочетаний
из n по k . По формуле сложения Cnk несовместных событий с одинаковыми
вероятностями pkqn−k получим, что вероятность события ѕПоявится ровно k
успеховї равна Cnkpkqn−k . Отсюда, учитывая, что число k принимает зна-
чения 0, 1, 2, . . . , n , следует, что ряд распределения биномиальной случайной
величины имеет вид, указанный в исходном определении.
Отметим, что распределение Бернулли является частным случаем би-
номиального распределения, когда параметр n равен единице.
По общему определению, функция распределения FB(x) биномиальной
случайной величины имеет следующий вид:
0, x ≤ 0,
FB(x) = P {B(ω) < x} = ∑pk=
k<x
∑ Cnkpkqn−k,0 < x ≤ n,
k<x
-
,
x > n.
Таким образом, функция распределения FB(x) является непрерывной слева,
кусочно-постоянной функцией, возрастающей от нуля до единицы. В каждой
точке k = 0, 1, . . . , n функция FB(x) имеет разрыв первого рода, причем
скачок функции равен P (X = k) = pk= Cnkpkqn−k.
43
Формулы вычисления математического ожидания и дисперсии
выводятся с помощью производящей функции:
ϕ(x) =
n
∑
k=0
n
pkxk= ∑
k=0
Cnkpkqn−kxk= (q + px)n.
Отсюда: ϕ0(x) = n(q + px)n−1p, ϕ00(x) = n(n − 1)(q + px)n−2p2 . Так
как q + p = 1 , то справедливы формулы: ϕ0(1) = np , ϕ00(1) = n(n − 1)p2.
Используя выражения для вычисления математического ожидания и
дисперсии через производные производящей функции, получим:
m = ϕ0(1) = np,
00
0
0
D = ϕ (1) + ϕ (1) − ϕ (1)2= n(n − 1)p2+ np − (np)2= np(1 − p) = npq.
Стандартное отклонение по определению вычисляется как корень
квадратный из дисперсии в следующем виде:
√
σ = Ⲛnp(1 − p) =
npq.
Мода биномиального распределения d находится по общему опре-
делению. В зависимости от значений параметров n и p биномиальное рас-
пределение может быть как симметричным (коэффициент асимметрии
равен нулю), так и несимметричным (коэффициент асимметрии от-
личен от нуля). Если параметры биномиального распределения такие, что
возможна аппроксимации биномиального распределения нормальным рас-
пределением, то коэффициент эксцесса данного конкретного биноми-
ального распределения близок к нулевому значению. В остальных слу-
чаях коэффициент экцесса вычисляется по определяющей формуле и сильно
зависит от значений параметров n и p .
Вычисления вероятностей непосредственно по формуле Бернулли при
больших значениях n и p приводят к арифметическим операциям с больши-
ми числами, что вызывает повышенную вычислительную погрешность. До-
полнительная погрешность вычислений возникает также при значениях пара-
метра p , близких к нулю или единице. Для проведения расчетов в указанных
случаях были выведены формулы, аппроксимирующие формулу Бернулли и
имеющие достаточно высокую точность.
Биномиальное распределение с параметрами n и p может быть ап-
проксимировано нормальным распределением с математическим ожи-
данием np и стандартным отклонением Ⲛnp(1 − p) , если только выполня-
ются условия np(1 − p) > 5 и 0, 1 < p < 0, 9 . При условии np(1 − p) > 25
это приближение можно применять при любых p .
44
Если значение параметра p мало, а значение параметра n велико так,
что p < 0, 1 и np ≤ 10 , то биномиальное распределение приближают
распределением Пуассона со значением параметра λ = np .
Пример. Куплено два лотерейных билета, причем известно, что ве-
роятность выигрыша по каждому билету равна 0, 6 . Найти для случайной
величины ѕЧисло выигрышейї и соответствующего конкретного биномиаль-
ного распределения при значениях параметров n = 2 , p = 0, 6 : случайную
величину; ряд и функцию распределения; полигон и график функции распре-
деления; основные числовые характеристики положения, рассеяния и формы;
вероятность попадания случайной величины на полуинтервал [m − σ; m + σ) .
Решение. В данном случае вероятностное пространство имеет вид
Ω = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)},
где цифрой 0 обозначено отсутствие выигрыша по билету, а цифрой 1
выигрыш по билету. Биномиальная случайная величина B2;0,6(ω) отображает
пространство Ω в числовое множество {0,1,2} таким образом, что исходу
(0, 0) соответствует значение случайной величины ноль, исходам (0, 1), (1, 0)
значение единица, а исходу (1, 1) значение два.
Вероятность исхода (0, 0) вычисляется по правилу умножения незави-
симых событий P (0, 0) = P (0)·P (0) = q · q = q2= 0, 16 или по определяющей
формуле P (B = 0) = p0= C20p0q2= 1· 1 · q2= q2= 0, 16 .
Далее, используя правило сложения несовместных событий и правило
умножения независимых событий, получим, что событие {(0, 1)+ (1, 0)} име-
ет вероятность P {(0, 1)+(1, 0)} = P (0, 1)+ P (1, 0) = q ·p+ p·q = 2p·q = 0, 48 .
К тому же результату придем и по определяющей формуле:
P (B = 1) = p1= C21p1q1= 2· p · q = 2pq = 0, 48.
Наконец, вероятность исхода (1, 1) вычисляется по правилу умноже-
ния независиых событий P (1, 1) = P (1) · P (1) = p · p = p2= 0, 36 или по
определяющей формуле P (B = 2) = p2= C22p2q0= 1· p2· 1 = p2= 0, 36 .
Полученный любым из двух рассмотренных способов ряд распределе-
ния, оформляют в виде таблицы биномиального распределения.
B
0
1
2
P p0= q2= 0, 16 p1= 2pq = 0, 48 p2= p2= 0, 36
На Рис. 2 представлен полигон данного биномиального распределения
при значениях параметров n = 2 , p = 0, 6 .
45
Рис. 2
Построим функцию биномиального распределения при n = 2 , p = 0, 6 .
По общему определению данная функция распределения должна возрастать
от нуля до единицы, имея скачки, равные 0, 16 , 0, 48 , 0, 36 в узлах 0 , 1 , 2 :
0,
x ≤ 0,
F (x) =
0, 16, 0 < x ≤ 1,
0, 64, 1 < x ≤ 2,
1, x > 2.
На Рис. 3 представлен график данной функции распределения.
Рис. 3
Математическое ожидание данного распределения вычисляется в виде
m = np = 2 · 0, 6 = 1, 2 , а мода распределения находится по ряду распре-
деления в виде d = 1 . Характеристики рассеяния данного распределения
имеют следующие значения: дисперсия D = npq = 2 · 0, 6 · 0, 4 = 0, 48 и
стандартное отклонение σ =
√
npq =
√
0, 48 = 0, 69 .
Для вычисления вероятности попадания случаной величины на полу-
интервал [m − σ; m + σ) = [0, 51; 1, 89) можно применить два подхода.
46
Во-первых, воспользоваться формулой P (a ≤ B < b) = F (b) − F (a) и
уже найденной функцией распределения:
P (0, 51 ≤ B < 1, 89) = F (1, 89) − F (0, 51) = 0, 64 − 0, 16 = 0, 48.
Во-вторых, непосредственно подсчитать число значений случайной ве-
личины, которые попадают в указанный интервал, и суммировать соответ-
ствующие этим значениям вероятности: P (B = 1) = 0, 48 .