- •1 Случайные события
- •1.1 Основные понятия и определения
- •1.2 Аксиомы теории вероятностей
- •1.3 Классическая схема вычисления вероятностей
- •1.3.1 Декартово произведение множеств и правило умножения
- •1.3.2 Размещения и перестановки
- •1.3.3 Сочетания при выборе с возвращением и без возвращения
- •1.3.4 Схема упорядоченных разбиений множества
- •1.4 Геометрическая, статистическая и экспертная схемы расчета
- •1.4.1 Геометрическая схема вычисления вероятности
- •1.4.2 Статистическая схема вычисления вероятности
- •1.4.3 Схема вычисления субъективной вероятности
- •1.5 Условная вероятность. Независимость событий. Формулы сло-
- •1.6 Формула полной вероятности и формулы Байеса
- •2 Случайные величины
- •2.1 Cлучайная величина и ее функция распределения
- •2.2 Дискретная случайная величина
- •2.2.1 Дискретный закон распределения
- •2.2.2 Числовые характеристики дискретного распределения
- •2.2.3 Производящая функция вероятностей
- •2.2.4 Биномиальное распределение
- •2.2.5 Распределение Пуассона
- •2.2.6 Геометрическое распределение
- •2.3 Непрерывные случайные величины
- •2.3.1 Функция распределения и плотность распределения
- •2.3.2 Числовые характеристики непрерывного распределения
- •2.3.3 Равномерное распределение
- •2.3.4 Нормальное распределение
- •2.3.5 Показательное распределение
- •2.4 Функция от случайной величины
- •3 Случайные векторы
- •3.1 Общие свойства случайного вектора
- •3.2 Случайные векторы дискретного типа
- •3.3 Непрерывные случайные векторы
- •4 Предельные теоремы
- •4.1 Закон больших чисел
- •4.2 Центральная предельная теорема
- •5 Элементы математической статистики
- •5.1 Выборка и выборочные законы распределения
- •5.2 Точечные оценки числовых характеристик случайных величин
- •5.3 Интервальные оценки
- •5.4 Проверка статистических гипотез
2.2.5 Распределение Пуассона
Случайная величина имеет распределение Пуассона с одним парамет-
ром λ > 0 , если она имеет следующий закон (ряд) распределения:
λk
P (X = k) = pk=
k!
e−λ,k = 0, 1, 2, . . . .
На Рис. 4 представлен график распределения Пуассона при λ = 2
Рис. 4
Ряд распределения Пуассона удовлетворяют обязательному для любого
распределения условию нормировки:
∞
∑
k=0
pk=
∞
∑
k=0
λk
k!
e−λ=e−λ
∞
∑
k=0
λk
k!
= e−λ·eλ= 1.
Закон распределения Пуассона используется для моделирования практиче-
ских задач, которые можно рассматривать в рамках такой схемы Бернулли,
47
где вероятность наблюдаемого события мала, а число испытаний значитель-
ное. В этом случае закон распределения Пуассона часто называют ѕзаконом
редких явленийї. Характерным примером является число выигрышей в лоте-
рею, когда имеется много билетов, но вероятность выигрыша незначительна.
Справедлива теорема Пуассона о том, что при n → ∞ , p → 0 ,
причем так, что произведение np постоянно, биномиальное распределение
стремится к распределению Пуассона с параметром λ = np .
В частности, показано, что биномиальное распределение с параметрами
n и p может быть c высокой точностью аппроксимировано распределением
Пуассона с параметром λ = np при проведении испытаний по схеме Бернулли
и условиях p < 0, 1 , np ≤ 10 .
Распределение Пуассона используют также при моделировании потока
событий, т. е. последовательности событий, наступающих в случайные мо-
менты времени. Например, так анализируют поток телефонных вызовов, по-
ток отказов элементов в сложной системе, поток клиентов и т. п. С помощью
распределения Пуассона эффективно моделируются только, так называемые,
простейшие потоки событий , обладающие свойствами стационарно-
сти, ординарности и отсутствия последействия . У стационарных
потоков интенсивность (среднее число событий за единицу времени) посто-
янна. Свойство ординарности означает, что вероятность группирования со-
бытий мала, а более вероятно появление событий поодиночке. Свойство от-
сутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления за-
данного числа событий на любом отрезке времени, не зависит от числа собы-
тий на любом другом непересекающемся отрезке. Если в конкретной задаче
указанные свойства выполняются, то полагают параметр λ равным интен-
сивности потока, а вероятность появления k событий за некоторое время t
рассчитывают по следующей формуле:
(λt)k
P (X = k) = pk=
k!
e−λt,k = 0, 1, 2, . . . .
Функция распределения Пуассона F (x) является непрерывной слева
кусочно-постоянной функцией, возрастающей от нуля до единицы:
F (x) = P {X (ω) < x} = ∑pk=
, |
λk
−
x ≤ 0,
k<x
48
∑
k<x
k!e
λ, x > 0.
Производящая функция для распределения Пуассона имеет вид
ϕ(x) =
∞
∑
k=0
pkxk=
∞
∑
k=0
λke−λ
k!
xk= e−λ
∞
∑
k=0
(λx)k
k!
= e−λ·eλx=eλ(x−1),|x| ≤ 1.
Отсюда, ϕ0(x) = λ · eλ(x−1),ϕ00(x) = λ2· eλ(x−1),ϕ0(1) = λ , ϕ√00(1) = λ2;
m = ϕ0(1) = λ , D = ϕ00(1)+ϕ0(1)−[ϕ0(1)]2=λ2+ λ−λ2= λ , σ =
D =
√
λ .
Итак, математическое ожидание, дисперсия и стандартное
отклонение зависят от параметра λ и вычисляются по формулам:
√
m = λ, D = λ, σ =
λ.
Отметим, что у распределения Пуассона математическое ожидание равно
дисперсии. Данное свойство является характеристическим и позволяет при
решении статистических задач выделять распределение Пуассона среди дру-
гих дискретных распределений по результатам наблюдений. При λ > 9 рас-
пределение Пуассона аппроксимируется нормальным распределе-
нием с математическим ожиданием λ и дисперсией λ .