1.3.2 Размещения и перестановки

Пусть имеется некоторое множество из n элементов. Каждое его упо-

рядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размеще-

нием из n элементов по k . Согласно определению, одно размещение

отличается от другого либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений находится по правилу умножения в виде

A^kn⁼n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · (n − k + 1),

т. е. равно произведению k последовательно убывающих на единицу нату-

ральных чисел, начиная с n .

Произведение натуральных чисел от 1 до n обозначают n! и читают

ѕэн факториалї. Используя данное обозначение, формулу вычисления числа

размещений можно преобразовать следующим образом:

A^kn⁼

n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · (n − k + 1) · (n − k)!

(n − k)!

=

n!

(n − k)!

.

Если условиться, что 0! = 1 , то формула справедлива при всех k ≤ n .

В частном случае k = n размещения называют перестановками.

Одна перестановка отличается от другой только порядком расположе-

ния элементов, а число всевозможных перестановок в конечном множестве

13

из n элементов вычисляется по следующей формуле:

P_n= Aⁿn⁼n!.

Из данной формулы следует, в частности, что любое конечное множество из

n элементов можно упорядочить ѕэн факториалї способами.

Схема выбора с упорядочиванием и без возвращения.

Данная схема выбора приводит к размещениям. Пусть некоторый опыт

состоит в случайном выборе k элементов из множества, содержащего n эле-

ментов. Выбор организован таким образом, что элементы не возвращаются

обратно, но упорядочиваются в некоторое последовательное соединение эле-

ментов, которое и является размещением. В качестве первого элемента произ-

вольного размещения может быть выбран любой из возможных n элементов.

В качестве второго любой из оставшихся n−1 элементов и т. д. Последним

выбирается элемент с номером k из оставшихся n − k + 1 элементов.

Применяя правило умножения приходим к выводу, что число таких

размещений вычисляется по любой из следующих формул:

n_!

A^kn⁼n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · (n − k + 1) = .

(n − k)!

Пример. На пяти карточках проставлена одна из цифр: 1; 2; 3; 4; 5 .

Случайным образом и без возвращения одну за другой выбирают три кар-

точки и располагают их в ряд слева направо в порядке поступления.

а) Сколько трехзначных чисел появится при таком выборе?

б) Найти вероятность события A : ѕ В числе, не содержится цифра 3 ї.

Решение.

а) При выборе без возвращения любые два сформированных трехзнач-

ных числа могут отличаться друг от друга либо порядком указанных на кар-

точках цифр, либо хотя бы одной цифрой. Таким образом, рассматриваемый

опыт приводит к размещениям. Число таких размещений вычисляется по

формуле A³5^{= 5}· 4 · 3 = 60 .

б) Применим классическую схему вычисления вероятностей. Числа, не

содержащие цифры три, есть размещения из четырех цифр 1; 2; 4; 5 по три, а

число таких размещений равно A³4^{= 4}·3·2 = 24 . Общее число всевозможных

размещений A³5 = 60 . Итак, P (A) = N (A)/N (Ω) = 24/60 = 0, 4 .

Пример. Шесть книг, из которых две книги одного автора, а остальные

различных авторов, ставят на полку в случайном порядке. Найти вероятность

того, что две имеющиеся книги одного автора окажутся первыми в ряду.

Решение. Применяем классическую схему вычисления вероятностей.

Пространство элементарных событий представляет собой множество всевоз-

14

можных перестановок книг на полке. Число таких перестановок вычисляют

по формуле P₆= N (Ω) = 6! = 720 . Соединения, благоприятствующие ука-

занному событию, есть перестановки двух книг одного автора на первых двух

местах за которыми следуют всевозможные перестановки из четырех остав-

шихся книг на четырех последующих местах. Число таких соединений вы-

числяют, используя принцип умножения, в виде N (A) = 2! · 4! = 2 · 24 = 48 .

Отсюда, P (A) = N (A)/N (Ω) = 48/720 = 1/15.

Схема выбора с возвращением и упорядочиванием.

Пусть некоторый опыт состоит в случайном выборе k элементов из

множества, содержащего n элементов. Выбор организован таким образом,

что каждый выбранный элемент возвращается обратно, так что при следу-

ющем выборе может быть взят как новый элемент, так и прежний. В даль-

нейшем отбранные элементы упорядочиваются либо в порядке поступления,

либо по указанному в решаемой задаче правилу. Полученное таким образом

соединение называют размещением с повторениями . Одно размещение

с повторениями может отличаться от другого элементами, их порядком и ко-

личеством повторений элементов. Число всех размещений из n элементов по

k с повторениями обозначается AЇk_nи находится по следующей формуле:

AЇk_n= n^k.

При выводе данной формулы использовалcя комбинаторный принцип умно-

жения k множеств, каждое из которых содержит n элементов.

Пример. Из телефонной книги случайным образом выбирают номер

телефона абонента. Считая, что любой номер телефона состоит из семи цифр

и может начинаться с любой из десяти цифр, найти вероятность того, что все

цифры выбранного номера телефона различные.

Решение. Применяем классическую схему вычисления вероятностей.

Общее число семизначных номеров посчитывается как число размещений с

повторениями из десяти по семь, т. е. N (Ω) = ЇA⁷10 = 10⁷. Если все цифры но-

мера различны, то такие номера отличаются либо порядком цифр, либо хотя

бы одной цифрой. Соединение такого типа является размещением из десяти

по семь, а число всех таких размещений равно N (A) = A⁷10 = 10 · 9· 8·7· 6·5·4 .

Итак, P (A) = N (A)/N (Ω) = A⁷10^/AЇ7₁₀≈ 0, 06 .