5.3 Интервальные оценки

Точечные оценки, обладая определёнными оптимальными свойствами,

не позволяют количественно судить о том, насколько оценка близка к истин-

ному значению оцениваемой характеристики случайной величины, сформи-

ровавшей данную выборку. Особенно актуальна эта проблема при малом объ-

ёме выборки. Решение данной задачи проводится с помощью доверитель-

ных интервалов , содержащих истинные значения θ параметров распреде-

лений или числовых характеристик случайных величин с доверительной

вероятностью γ = 1 − α . Значение α называют уровнем значимо-

сти . Нижняя θ∗₁и верхняя θ₂∗ границы доверительного интервала

(θ∗₁; θ∗₁) являются функциями выборки, т. е. некоторыми статистиками.

Двусторонний доверительный интервал Iθ⁽n; 1 − α) , содержа-

щий неизвестный параметр θ с доверительной вероятностью 1 − α , опреде-

ляется по выборке объема n по следующему правилу:

P {θ∗₁< θ < θ₂∗_}= 1 − α.

Для решения некоторых задач могут применяться односторонние до-

верительные интервалы: левосторонние (неограниченные слева), гра-

ницы которых определяются из условия P {θ < θ₂∗_}= 1 − α и правосторон-

ние (неограниченные справа), определяемые из условия P {θ∗₁< θ} = 1 − α .

Числовое значение доверительной вероятности γ = 1 − α выбирают

исходя из условий и значимости решаемой практической задачи. Обычно ис-

пользуют значения γ = 1 − α , равные 0, 90 , 0, 95 , 0, 99 .

При достаточно большом числе повторений выборок доверительные ин-

тервалы содержат оцениваемые характеристики в 100 (1 − α) % случаев.

Данное утверждение используют в задачах статистического моделирования

для контроля сходимости результатов.

Построение доверительных интервалов проводится в параметрической

модели по следующей схеме .

Сначала на основе имеющейся информации оговариваются свойства

случайной величины X (ω) , формирующей данную выборку. Затем рассмат-

105

ривается некоторая случайная величина Y , которая является функцией от

оцениваемого параметра θ и компонент n -мерного выборочного вектора XЇ

и имеет распределение F_Y(y) , не зависящее от параметра θ . По распреде-

лению F_Y(y) находят числа y₁и y₂, обеспечивающие выполнение условия

P {y₁≤ Y ≤ y₂} = 1 − α . Отметим, что при построении односторонних до-

верительных интервалов, рассматривается только одно из двух неравенств,

стоящих в фигурной скобке предшествующей формулы. Окончательно гра-

ницы θ₁∗ и θ₂∗ доверительного интервала Iθ⁽n; 1 − α) = (θ∗₁; θ₁∗₎выражаются

через y₁, y₂и соответствующие статистики.

Пример 1. Найти доверительный интервал для математического ожи-

дания m при доверительной вероятности γ = 1 − α и условии, что выборка

объема n порождена нормально распределенной случайной величи-

ной с неизвестным параметром µ и известным параметром σ .

√

Решение. Рассмотрим случайную величину U = ( Ї − µ)

n/σ . Дока-

зано, что при оговоренных выше условиях данная случайная величина имеет

стандартное нормальное распределение N (0; 1) независимо от значения па-

раметра µ . Выберем значения y₁, y₂равными значениям квантилей uα/2

u₁−α/2 стандартного нормального распределения N (0; 1) .

Тогда по определению данных квантилей выполняется условие

√

P^}uα/2^<( Ї − µ) n/σ < u₁−α/2

{ = Φ(u₁−α/2⁾− Φ(uα/2) = 1 − α − α_{= 1}−α.

2

2

Решая неравенства в фигурных скобках относительно оцениваемого пара-

метра µ , получим, что с доверительной вероятностью 1 − α выполняются

√

√

условия XЇ − u₁−α/2^·√σ/

n < µ < XЇ − uα/2^·σ/

n , которые задают нижнюю

θ∗₁= ЇX − u₁−α/2^·σ/

√

n и верхнюю θ₂∗_{= Ї}X − uα/2^·σ/ n границы довери-

тельного интервала I_µ(1 − α) = (θ∗₁; θ∗₂) , содержащего с доверительной веро-

ятностью 1 − α неизвестный заранее параметр µ . Так как для нормально-

го распределения математическое ожидание m равно параметру положения

µ , то полученный доверительный интервал содержит также математическое

ожидание m . Учитывая далее, что для квантилей стандартного нормального

распределения справедливо равенство uα/2⁼−u₁−α/2 , получим окончатель-

но искомый доверительный интервал в виде

√

√

I_m(1 − α) =⁽XЇ − u₁−α/2^·σ/

n; ЇX + u₁−α/2^·σ/

n .

Реализацию данного доверительного интервала рассчитывают как

√

√

I_m(1 − α) =⁽Ї − u₁−α/2^·σ/

∑n

n; Ї + u₁−α/2^·σ/

n ,

∑n

подставляя вместо статистики XЇ =

k=1^Xk

n

106

ее реализацию Ї =

k=1^xk

n^.

Пусть более конкретно имеется ранее рассмотренная выборка объёма

n = 10 (время ожидания обслуживания на автозаправочной станции в те-

чение суток) 3, 7, 7, 0, 2, 1, 2, 3, 5, 4. Построим 95% доверительный интервал

для математического ожидания при условии, что параметр масштаба нор-

мального распределения известен и равен 2.

Предварительно вычисляем среднее арифметическое по формуле

n

Ї =

∑

k=1

x_k

n

= 34/10 = 3, 4.

По таблице стандартного нормального распределения находим кван-

тиль, соответствующий вероятности 1 − α/2 = 0, 975 в виде u₀,975^{= 1}, 96 .

Тогда доверительный интервал для математического ожидания m_xпри

доверительной вероятности 0, 95 имеет следующий вид:

√

√

I_m(0, 95) = 3, 4 − 1, 96 · 2, 0/

10 ; 3, 4 + 1, 96 · 2, 0/

10 = (2, 16 ; 4, 64).

Пример 2. Найти доверительные интервалы для дисперсии σ_x2 и стан-

дартного отклонения σ_xпри доверительной вероятности 1−α и условии, что

выборка объема n порождена нормально распределенной случайной

величиной с известным параметром µ и неизвестным парамет-

ром σ .

Решение. В данном случае для построения доверительного интерва-

ла для дисперсии σ_x2 при доверительной вероятности 1 − α используется

случайная величина

χ²n⁼S₀2_·n/σ²,

имеющая независимо от значения параметра σ распределение ѕхи-квадратї

с числом степеней свободы n .

2

Используя статистику S₀2₌∑n_k=1⁽X_k−µ)

2

2

n , квантили χα/2 и χ₁−α/2 рас-

пределения ѕхи-квадратї с числом степеней свободы n , построим событие

n

2

2

o

χ²α/2^{< S}0^·n/σ

< χ²1−α/2⁾

с заданной доверительной вероятностью 1 − α .

Решая полученные неравенства относительно квадрата параметра мас-

штаба σ², получим доверительный интервал

Iσ2 (1 − α) = S₀2_·n/χ²1−α/2^;S₀2_·n/χ²α/2^,

содержащий с доверительной вероятностью 1−α квадрат параметра масшта-

ба σ². Так как для нормального распределения дисперсия σ_x2 равна квадрату

параметра масштаба σ², то полученный доверительный интервал содержит

107

и дисперсию σ_x2 . Реализация данного доверительного интервала имеет вид

Iσ_x2(1 − α) = s²0^·n/χ²1−α/2^;s²0^·n/χ²α/2^,

2

где вместо статистики S₀2 подставлена ее реализация s²0⁼∑n_k=1⁽x_k−µ)

n^.

Извлекая квадратный корень из левой и правой границы доверитель-

ного интервала для дисперсии, вычисляют реализацию доверительного ин-

тервала для стандартного отклонения в виде

Iσ_x(1 − α) = s₀·

q

n/χ²1−α/2^;s₀·

q

n/χ

2 α/2.

В рассматриваемом конкретном примере построим 95% доверительные

интервалы для дисперсии и стандартного отклонения при условии, что пара-

метр положения нормального распределения известен и равен 3,2, а параметр

масштаба неизвестен. Вычисляем выборочную дисперсию

10

s²0⁼

∑

k=1

(x_k− 3, 2)²

10

= 5, 08,

а также находим квантили χ²0,025^{= 3}, 25 и χ²0,975 = 20, 5 распределения

ѕхи-квадратї с числом степеней свободы 10 . Тогда реализация 95% довери-

тельного интервала для дисперсии имеет вид

Iσ_x2 (0, 95) = (5, 08 · 10/20, 5 ; 5, 08 · 10/3, 25) = (2, 48; 15, 63).

Реализацию 95% доверительного интервала для стандартного отклонения

находим извлекая квадратные корни из левой и правой границы доверитель-

ного интервала для дисперсии

Iσ_x(0, 95) = (Ⲛ₂, 48; Ⲛ₁₅, 63) = (1, 58 ; 3, 95).

Пример 3. Найти доверительные интервалы для математического ожи-

дания m_x, дисперсии D_x= σ_x2 и стандартного отклонения σ_xпри довери-

тельной вероятности 1 − α и при условии, что выборка объема n порож-

дена нормально распределенной случайной величиной с неизвест-

ными параметрами µ и σ .

Решение. В данном случае для построения доверительного интервала

для параметра положения µ используется случайная величина

√

n

X_k

v

u

n

(X_k− XЇ )²

T_n−1 = ( Ї − µ)

n/S, где XЇ =

∑

k=1

n

∑

, S =^ut

k=1

n − 1

.

108

Рассматриваемая случайная величина имеет в оговоренных выше усло-

виях распределение Стьюдента с (n − 1) -ой степенью свободы. По определе-

нию квантилей tα/2^{, t}1−α/2 выполняется условие

√

P^}tα/2^<( Ї − µ)

n/S < t₁−α/2^{= F_T(t₁−α/2⁾− F_T(tα/2) = 1 − α.

√

Тождественно преобразуем неравенства tα/2^<( Ї − µ)

n/S < t₁−α/2 в

фигурных скобках относительно параметра µ и учтем, что в силу симметрии

плотности распределения Стьюдента относительно оси Oy выполняется со-

отношение tα/2⁼−t₁−α/2 . Тогда реализация доверительного интервала для

математического ожидания m_x= µ при доверительной вероятности 1 − α

будет иметь следующий вид:

√

√

I_m(1 − α) =⁽Ї − t₁−α/2^·s/

n ; Ї + t₁−α/2^·s/

n .

Для построения доверительного интервала для дисперсии σ²x⁼σ²при

доверительной вероятности 1 − α используется случайная величина

χ²n−1⁼S²(n − 1)/σ²,

имеющая распределение ѕхи-квадратї с числом степеней свободы n − 1 .

Используя квантили χ²α/2 и χ²1−α/2 распределения ѕхи-квадратї, по-

строим событие

n

o

χ²α/2^{< S}2₍n − 1)/σ²< χ²1−α/2⁾

, имеющее заданную дове-

рительную вероятность 1 − α .

Решая, как и ранее, полученные неравенства относительно оцениваемой

дисперсии σ_x2₌σ²и подставляя вместо статистик XЇ , S²их реализации Ї ,

s², получим реализацию доверительного интервала

Iσ2_x(1 − α) = s²· (n − 1)/χ²1−α/2^;s²· (n − 1)/χ²α/2^,

содержащего неизвестную дисперсию σ_x2 с доверительной вероятностью 1−α .

В практических задачах часто используют доверительный интервал

Iσ_x(1 − α) = s ·

q

(n − 1)/χ²1−α/2^;s ·

q

(n − 1)/χ²α/2

для стандартного отклонения σ_x. Данный интервал имеет доверительную

вероятность 1 − α , так как находится путем равносильных преобразований

(извлечения квадратного корня) из неравенств

s²(n − 1)/χ²1−α/2 < σ²x^{< s}2₍n − 1)/χ²α/2^.

109

Для конкретной выборки объемом в 10 наблюдений предварительно на-

ходим среднее арифметическое, несмещенную выборочную дисперсию и вы-

борочное стандартное отклонение по формулам:

Ї =

n

∑^xk

n

k=1

= 34/10 = 3, 4; s²=

n

∑

k=1

(x_k− Ї)²

n − 1

= 50, 4/9 = 5, 6; s =

√

s²= 2, 37.

Квантиль распределения Стьюдента при вероятности 1 − α/2 = 0, 975 и при

числе степеней свободы n−1 = 9 имеет значение t₀,975(9) = 2, 26 . Подставляя

значения среднего арифметического, выборочного стандартного отклонения

и квантиля в соответствующую общую формулу, находим реализацию 95%

доверительного интервала для математического ожидания

√

√

I_m(0, 95) = 3, 4 − 2, 26 · 2, 37/

9 ; 3, 4 + 2, 26 · 2, 37/

9 = (1, 71 ; 5, 19).

Квантили ѕхи-квадратї распределения уровней 0, 025 и 0, 975 при чис-

ле степеней свободы, равном девяти, имеют следующие значения:

χ²α/2⁼χ²0,025^{= 2}, 7, χ²1−α/2⁼χ²0,975 = 19, 0.

Подставляя в общую формулу значения квантилей и выборочной дисперсии

s², находим доверительный интервал Iσ_x2 (1 − α) для дисперсии σ_x2 в виде

Iσ²x⁽⁰, 95) = (5, 6 · 9/19 ; 5, 6 · 9/2, 7) = (2, 65 ; 18, 67).

Извлекая корни квадратные из границ интервала Iσ_x2 (0, 95) , получим

доверительный интервал Iσ_x(0, 95) для стандартного отклонения σ_xв виде

Iσ_x(0, 95) = (1, 63 ; 4, 32).

Пример 4. Найти доверительный интервал для параметра p при до-

верительной вероятности 1 − α и при условии, что выборка объема n по-

рождена случайной величиной, имеющей распределение Бернулли

с неизвестным параметром p .

Решение. Доверительный интервал (p∗₁, p∗₂) для параметра p распре-

деления Бернулли находится с использованием вспомогательной случайной

величины Y = (p ∗ −p)/Ⲛpq/n , распределение которой при n > 50 , n ˜ 5

и n(1 − ˜) > 5 аппроксимируется стандартным нормальным распределением.

Во многих практических задачах под выборочной частотой p∗ = k/n

подразумевается относительная частота появления ѕуспехаї в серии из n

независимых испытаний по схеме Бернулли с вероятностью ѕуспехаї p и

110

вероятностью ѕотказаї q = 1 − p . Так как всегда выполняется условие

pq ≤ 1/4 , то более широкий приближенный доверительный интервал

√

√

I_p(1 − α) = (p ∗ −u₁−α/2²/

n ; p ∗ +u₁−α/2²/

n)

содержит неизвестное заранее значение вероятности успеха p с доверитель-

ной вероятностью не меньшей, чем 1 − α .

Пусть проводятся испытания по схеме Бернулли с одинаковой, но неиз-

вестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Най-

дем расширенный 95% доверительный интервал для параметра p , если в 400

испытаниях событие A появилось 160 раз. Предварительно вычисляем вы-

борочную частоту появления события A в виде p∗ = k/n = 160/400 = 0, 4

и по таблице стандартного нормального распределения находим квантиль

u₀,975^{= 1}, 96 уровня 0, 975 , обеспечивающий построение двустороннего 95%

доверительного интервала.

Подставляя найденные значения в общую формулу, получим

√

√

I_p(0, 95) = (0, 4 − 1, 96 · 2/

400 ; 0, 4 + 1, 96 · 2/

400) = (0, 2; 0, 6).

Пример 5. Найти доверительный интервал для медианы h_xпри доверитель-

ной вероятности 1 − α и при условии, что выборка порождена случайной

величиной, имеющей любое непрерывное распределение.

Решение. Данные доверительные интервалыв могут быть построены с

помощью элементов вариационного ряда (порядковых статистик).

Доказано, что существует доверительный интервал

I_h(n; 1 − α) = (x₍k)^{, x}(n−k+1)⁾,

содержащий медиану h_xс доверительной вероятностью не меньшей, чем

1 − α . Ниже приведена таблица значений номеров вариационного ряда k

и n − 1 + k , обеспечивающих гарантированную доверительную вероятность

0, 95 для различных объёмов выборок n .

111

n k n+1–k P

6 1

7 1

8 1

9 2

10 2

11 2

12 3

13 3

14 3

15 4

20 6

25 8

30 10

6

7

8

8

9

9

10

11

12

12

15

18

21

0,984

0,992

0,996

0,980

0,988

0,993

0,980

0,988

0,993

0,981

0,978

0,977

0,978

Для определения доверительного интервала для медианы h_xпостроим

вариационный ряд, упорядочив нашу выборку по неубыванию

0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 3 ≤ 4 ≤ 5 ≤ 7 ≤ 7.

Используя приведенную ранее таблицу, найдём доверительный интер-

вал I_hx⁽n; 1 − α) = (x₍k)^{, x}(n−k+1)⁾в виде I_hx(10 ; 0, 95) = (x₍₂₎; x₍₉₎) = (1 ; 7) .

Данный интервал содержит неизвестную медиану генеральной совокуп-

ности с доверительной вероятностью 0, 988 , которая больше, чем заранее

заданная и равная 0, 95 . Отметим, что более узкий интервал, строго отвеча-

ющий вероятности 0, 95 , невозможно построить в силу дискретности распо-

ложения порядковых статистик на числовой оси.