4.2 Центральная предельная теорема

Приведем без доказательства центральную предельную теорему для

одинаково распределенных случайных величин в формулировке Ляпунова.

Теорема (Ляпунова). Пусть случайные величины в последователь-

ности X₁, X₂, . . . , X_n, . . . независимы, одинаково распределены, имеют рав-

ные математические ожидания m и равные дисперсии D = σ².

Тогда функция распределения F_Zn⁽z) , n ∈ N центрированной и нор-

мированной суммы данных случайных величин

∑n

k=1^Xk − nm

Z_n=

σ

√

n

, n ∈ N

сходится для всех z ∈ R к функции распределения Лапласа

lim F_Zn⁽z) = Φ(z).

n→∞

Следствием центральной предельной теоремы является теорема Муав-

ра–Лапласа, относящаяся к схеме Бернулли.

Теорема (Муавра–Лапласа). Пусть случайная величина B_nиме-

ет биномиальное распределение и определена как число появлений события

A при n независимых испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью

p = P (A) успеха события A в каждом испытании.

Тогда функции распределения F_BЇ_n, n ∈ N центрированной и норми-

рованной последовательности случайных величин BЇ_n=^B√ⁿnpq−np_,n ∈ N схо-

дятся для всех z ∈ R к функции распределения Лапласа lim F_BЇ_n(z) = Φ(z) .

n→∞

Доказательство. Случайная величина B_n, n ∈ N принимает зна-

чения k = 0, 1, . . . , n и является суммой S_n= ∑n_k=1^Ik^,n ∈ N незави-

симых, одинаково распределенных индикаторных случайных величин, каж-

дая из которых имеет математическое ожидание p = P (A) и дисперсию

P (A) · (1 − P (A)) = pq .

Математическое ожидание суммы S_n= B_n, n ∈ N равно pn , n ∈ N ,

а дисперсия суммы S_n= B_n, n ∈ N равна D(S_n) = npq , n ∈ N .

Если центрировать и нормировать случайную величину S_n= B_n, то

случайная величина BЇ_n=^B√ⁿnpq−np_,n ∈ N удовлетворяет всем условиям тео-

ремы Ляпунова, что и доказывает данную теорему.

96

Теорема Муавра–Лапласа обосновывает возможность приближения дис-

кретного биномиального распределения непрерывным нормальным распреде-

лением с параметрами µ = pn и σ =

√

npq .

В частности, для вычисления вероятности попадания биномиальной

случайной величины на дискретный интервал [k₁, k₂) при достаточно боль-

ших значениях npq применяется интегральная формула Муавра – Лапласа

P (k₁≤ B_n< k₂) = P

( k₂− np

√

npq

≤

B_n− np

√

npq

<

k₁− np

√

npq

=

= Φ

( k₂− np

√_npq

− Φ

( k₁− np

√_npq

+ O

( 1

√_npq,

а для вычисления вероятности любого из возможных значений k = 0, 1, . . . , n

биномиальной случайной величины – локальная формула Муавра–Лапласа

P (B_n= k) =

√

1

e−

(_k−np)2

2npq + O

( 1

√_npq∼₌

1

√_npqϕ

( k − np

√_npq.

2πnpq

Высокая точность приближения достигается в тех случаях, когда вы-

полняются условия npq > 5 и 0, 1 < p < 0, 9 . При условии npq > 25 при-

ближение можно применять при любых вероятностях p = P (A) события A .

Пример. По каналу связи передано n = 10000 символов. Вероятность

искажения каждого символа p = 0, 001 . Найти вероятность того, что иска-

жено 15 символов, менее 15 символов, не менее 15 символов.

Решение. Воспользуемся аппроксимацией биномиального распределе-

ния нормальным распределением N (pn,

√

pnq) и применим дифференциаль-

ную и интегральную формулы Муавра–Лапласа.

√

Вычисляем: n = 10000 , p = 0, 001 , q = 0, 999 , m = pn = 10 ,

σ =

pnq = 3, 16 , k = 15 , k₂= 15 , k₁= 0 . Далее:

P (B_n= 15) ∼₌

1

3, 16

ϕ

(15 − 10

3, 16

=

1

3, 16

ϕ(1, 58) = 0, 1145/3, 16 = 0, 036;

P (0 ≤ B_n< 15) ∼= Φ

(₁₅− 10

3, 16

− Φ

( 0 − 10

3, 16

=

= Φ(1, 58) − Φ(−3, 16) = 0, 943 − (1 − 0, 9992) = 0, 942;

P (B_n≥ 15) = 1 − P (B_n< 15) ∼_{= 1}− Φ(1, 58) = 1 − 0, 943 = 0, 057.

97