2.2.6 Геометрическое распределение
Случайная величина X называется распределённой по геометриче-
скому закону с параметром p > 0 , если она принимает целые значения
0, 1, 2, . . . , а соответствующие вероятности определяются по формуле
P (X = k) = pk= (1 − p)k· p = qkp; k = 0, 1, 2, . . .
и являются членами убывающей геометрической прогрессии.
На Рис. 5 приведён график геометрического распределения при p = 0, 6
Вероятности в ряде геометрического распределения удовлетворяют обя-
зательному для дискретного распределения условию нормировки:
∞
∑
k=0
pk=
∞
∑
k=0
∞
p qk= p ∑qk=p ·
k=0
1
1 − q
=
p
p
= 1.
Обычно под случайной величиной X подразумевают число ѕОтказовї
предшествующих появлению первого ѕУспехаї при проведении счетной по-
следовательности независимых испытаний. Параметр p в этом случае ра-
вен вероятности ѕУспехаї в каждом из независимых испытаний, а величина
q = 1 − p соответствует вероятности ѕОтказаї.
Если обозначить отказ при некотором испытании цифрой 0 , а успех
цифрой 1 , то пространство Ω будет иметь вид:
Ω = {(1), (0, 1), (0, 0, 1), . . . , (0, 0, . . . , 0, 1), . . . }.
49
Рис. 5
Вероятность любого элемента, содержащего k отказов и один успех
вычисляется по формуле умножения независимых событий и равна значе-
нию qk· p, k = 0, 1, 2, . . . . Так как число k выбрано произвольно, то ряд
геометрического распределения имеет вид, указанный в определении.
Производящая функция для геометрического распределения имеет вид
∞
∞
∞
p
ϕ(x) =
∑
k=0
pk· xk= ∑pqk·xk= p ∑(qx)k=
k=0 k=0
1 − qx
, |x| ≤ 1.
Отсюда:
0
ϕ (x) =
( p
0
=
pq
00
, ϕ (x) =
2pq2
0
, ϕ (1) =
q
,
00
2pq2
1 − qx
2q2
(1 − qx)2
0
q
(1 − qx)3
00
0
h
0
p
i2
ϕ (1) =
(1 − q )3
=
p2
, m = ϕ (1) =
p
, D = ϕ (1) + ϕ (1) −
ϕ (1)
=
=
2q2
+
q −q
2
=
q
, σ =
√
D =
√
q
.
p2
p
p2
p2
p
Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение для
геометрического распределения выражаются через параметр p по формулам
√
M (X ) = m =
q
p
=
1 − p
p
, D(X ) = D =
q
p2
=
1 − p
p2
, σ =
1 − p
p
.
Наряду со случайной величиной X ѕЧисло отказов до появления пер-
вого успехаї со множеством значений 0, 1, 2, . . . , часто рассматривают слу-
чайную величину Y ѕЧисло испытаний до появления первого успехаї со
50
множеством значений 1, 2, 3, . . . . Случайная величина Y также имеет гео-
метрическое распределение, а ее ряд распределения задается формулой
P (X = k) = pk= (1 − p)k−1·p = qk−1p; k = 1, 2, 3, . . . .
Данные случайные величины связаны между собой соотношением Y = X +1 .
Отсюда, используя свойства операторов математического ожидания и дис-
персии, выводятся формулы вычисления числовых характеристик новой слу-
чайной величины Y :
√
my=
1 q
, D(Y ) = Dy=
p p2
=
1 − p
p2
, σy=
1 − p
p
.
Как видно, математическое ожидание случайной величины Y увеличивается
на единицу, а дисперсия и стандартное отклонение остаются прежними.