Линеаризация функции и метод наименьших квадратов

В физических исследованиях очень часто для сравнения эксперимента с теорией пользуются методом линеаризации теоретической зависимости. Например, в лабораторной работе N1.1 “Изучение кинематики и динамики поступательного движения на машине Атвуда” исследуется зависимость перемещения h, проходимого грузами равноускоренно (при v₀ = 0), от времени движения t. Теоретическая зависимость имеет вид

h = , (1)

где а - ускорение грузов.

Если по экспериментальным данным построить график зависимости h от t, представляющий собой возрастающую кривую, то по виду графика нельзя утверждать, что это именно та парабола второго порядка, которая соответствует проверяемой закономерности, т.к. похожие графики могут иметь другие зависимости, например, степенные зависимости более высокого порядка, экспоненциальные, гиперболические и др. Единственным графиком, по внешнему виду которого можно однозначно судить о характере исследуемой зависимости, является прямая линия. Для того, чтобы воспользоваться этим свойством, в проверяемой закономерности необходимо выявить такие новые переменные, зависимость между которыми была бы линейной. В нашем случае такими переменными являются h и t². Следовательно, для проверки справедливости соотношения (1) имеет смысл строить график экспериментальной зависимости h от t². Для этого необходимо, используя экспериментальные значения t, определить соответствующие значения t², а также оценить погрешности измерений величины t². Затем на систему координат h , t² (см. рис.) следует нанести экспериментальные точки, а также вправо и влево от экспериментальных точек отложить отрезки, длина которых равна погрешностям измерения t². Эти отрезки называются доверительными интервалами. Если через начало координат и через доверительные интервалы можно провести прямую линию (график исследуемой зависимости), т.е. экспериментальная зависимость h = f(t²) является линейной, значит соотношение (1) подтверждено экспериментально.

Используя график линеаризованной зависимости, можно определить некоторые параметры изучаемого явления из следующих соображений. Уравнение прямой в общем виде можно записать как

y = b + kx . (2)

Угловой коэффициент k

k = , (3)

где x - произвольный отрезок на оси 0x (приращение аргумента); y - соответствующее приращение функции. Величина b может быть определена как величина отрезка, отсекаемого графиком на оси 0y. В нашем случае y = h, x = t², b = 0, k = a / 2, поэтому

= . (4)

Отрезки (приращения) h и (t²) показаны на рис. Из (4) можно определить ускорение а грузов:

а = 2 5)

При нахождении величин k и b из графика к погрешности измерений добавляется погрешность построения графика. Существует точный метод нахождения величин k и b - метод наименьших квадратов. Этот метод позволяет провести экспериментальную прямую так, что сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от графика минимальна. Формулы для определения величин k и b имеют вид:

k = , (6)

b = , (7)

где n - число экспериментальных точек; x_i и y_i - абсциссы и ординаты соответствующих экспериментальных точек.

Суммирование производится по всем точкам. Зная k и b и задавшись какими-либо значениями x₁ и x₂ , можно по формуле (2) вычислить y₁ и y₂. Затем через две точки с координатами (x₁ , y₁) и (x₂ , y₂) проводится искомая прямая.

Теория позволяет также найти случайные абсолютные погрешности коэффициентов k и b:

(k) = , (8)

(b) = , (9)

где S₀ = . (10)

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Зайдель А.Н. Погрешности измерений физических величин.- Л.: Наука, 1985, 110 с.

2. Рабинович С.Г. Погрешности измерений.- Л.: Энергия, 1978, 258 с.

О Г Л А В Л Е Н И Е

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1.1

“Изучение кинематики и динамики поступательного движения

на машине Атвуда” 3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1.2

“Изучение кинематики вращательного движения ” 12

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1.3

“Изучение динамики поступательного и вращательного движения

твердого тела” 19

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1.4

“Изучение центрального удара шаров” 29

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1.5

“Изучение законов сохранения энергии и момента импульса

на баллистическом крутильном маятнике” 40

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1.6

“Определение ускорения свободного падения

при помощи универсального маятника” 49

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1.7

“Изучение затухающих механических колебаний” 58

ПРИЛОЖЕНИЕ

Линеаризация функции и метод наименьших квадратов 68