Мал. 9.2. Розподіл значень і в залежності від їхнього впливу на характер динаміки національного доходу при зміні автономного попиту.

Якщо , то змінюється монотонно; при <0 зміна відбувається коливально. Отже, графік функції , представлений на мал. 9.2 кривою OBD, відокремлює множену сполучень , що забезпечують монотонну зміну , від безлічі комбінацій зі значень , призводячи до коливань .

Чи спрямовується значення до деякої скінченної величини чи іде до нескінченності, залежить від значення останнього характеристичного рівняння. Якщо < 1, то рівновага установиться на визначеному рівні. При > 1 раз порушена рівновага більше не відновиться. Коли = 1, тоді значення буде коливатися з постійною амплітудою.

У результаті вся множина сполучень і виявилося розділеним на п'ять областей, як це показано на мал. 9.2.

Якщо значення і указують на область I, то після порушення рівноваги в результаті зміни автономного попиту значення монотонно спрямується до нового рівноважного рівня (мал. 9.3).

При значеннях і , що знаходяться в області II, національний доход досягне нового рівноважного рівня, пройшовши через згасаючі коливання. Сполучення значень і , розташовані праворуч від перпендикуляра, опущеного з крапки В на вісь абсцис (мал. 9.2), відповідають нестабільній рівновазі. Коли сполучення значень і вказують на область ІІІ, тоді динаміка здобуває характер вибухових коливань (мал. 9.3). Комбінації значень і з області IV приводять до того, що після порушення рівноваги монотонно спрямовується в нескінченність. І нарешті, якщо акселератор дорівнює одиниці, то при будь-якім значенні граничної схильності до споживання у випадку порушення рівноваги виникають рівномірні незатухаючі коливання .

Мал. 9.3. Варіанти динаміки національного доходу при взаємодії мультиплікатора й акселератора.

Числовий приклад. Перевіримо отримані висновки. Стан економіки в нульовому періоді характеризується наступними параметрами: = 0.85, = 300, = 0.3. У цьому випадку рівноважне значення національного доходу дорівнює = 300/0.15 = 2000, а рівняння динамічної рівноваги має вид 2000 = 0.85*2000 + 300.

Нехай у першому періоді автономний попит зростає до 500 і зберігається на цьому рівні в наступні періоди.

Унаслідок цього величина національного доходу відповідно до рівняння (9.1) зазнає зміни, представлені в табл. 9.3 (з округленням до цілих чисел) і на мал. 9.4.

Оскільки в розглянутому прикладі комбінація , належить області І на мал. 9.2, то має місце монотонний рух величини до нового рівноважного значення.

Щоб виявитися в області II, потрібно змінити вихідні умови приклада. Нехай = 0.7, = 600, = 0.6.

Тоді = 600/0.3 = 2000. Якщо в першому періоді автономні витрати зростуть до 800 і збережуться на цьому рівні в наступні періоди, то до нової рівноваги економіка прийде через хвилеподібну зміну величини національного доходу, як це відбито в табл. 9.4 і на мал. 9.5.

Рис. 9.4. Динаміка національного доходу унаслідок взаємодії мультиплікатора й акселератора при перебуванні значень і в області І.

0	2000	1700	0	300
1	2200	1700	0	500
2	2430	1870	60	500
3	2634	2065	69	500
4	2800	2239	61	500
5	2930	2380	49	500
6	3029	2490	38	500
7	3105	2575	29	500
8	3161	2575	29	500
9	3204	2687	17	500
10	3237	2724	17	500
11	3260	2751	9	500
12	3279	2771	7	500
13	3292	2787	5	500
14	3302	2798	4	500
15	3310	2807	3	500
16	3316	2813	2	500
17	3320	2818	1	500
18	3323	2822	1	500
19	3326	2825	0	500
20	3327	2827	0	500
21	3329	2828	0	500
22	3330	2829	0	500
23	3331	2830	0	500
24	3331	2831	0	500
25	3332	2831	0	500
26	3332	2832	0	500

0	2000	1400	0	600
1	2200	1400	0	800
2	2460	1540	120	800
3	2678	1722	156	800
4	2805	1874	130	800
5	2840	1963	76	800
6	2809	1988	20	800
7	2747	1966	-18	800
8	2686	1923	-36	800
9	2643	1880	-36	800
10	2625	1850	-25	800
11	2626	1837	-11	800
12	2639	1838	0	800
13	2655	1847	7	800
14	2668	1858	9	800
15	2675	1867	7	800
16	2677	1872	4	800
17	2675	1874	1	800
18	2671	1872	-1	800
19	2667	1869	-2	800
20	2665	1867	-2	800
21	2664	1865	-1	800
22	2664	1864	0	800
23	2665	1864	0	800
24	2666	1865	0	800
25	2666	1866	0	800

Таблиця 9.3 Таблиця 9.4

Взаємодія мультиплікатора і Взаємодія мультиплікатора і

акселератора при = 0.85, = 0.3 акселератора при =0.7, =0.6

Рис. 9.5. Динаміка національного доходу унаслідок взаємодії мультиплікатора й акселератора при перебуванні значень і в області ІІ.

Змінивши в останньому прикладі тільки значення акселератора: =1.5, ми переведемо комбінацію , з області ІІ в область ІІІ. У цьому випадку динаміка здобуває вибухові коливання (табл. 9.5, мал. 9.6).

Якщо замість = 1.5 прийняти — 2.5, то після збільшення автономного попиту на 200 значення буде монотонно рости до нескінченності (табл. 9.6, мал. 9.7), тому що крапка з координатами = 0.7, — 2.5 знаходиться в області IV.

У реальній економіці < 1, а > 1, тобто їй відповідають області ІІІ і IV. При таких сполученнях значень граничної схильності до споживання й акселератора рівновага не стійка, і при його порушенні в моделі , дуже швидко приймає неправдоподібні значення. У дійсності розмір національного доходу не може істотно перевищувати величину національного доходу повної зайнятості. Це обмежує амплітуду коливань обсягу національного доходу зверху. З іншої сторони обсяг індукованих інвестицій не може бути менше негативної величини амортизації і це обмежує амплітуду коливання величини національного доходу знизу. У результаті модель взаємодії мультиплікатора й акселератора приймає вид

причому

У таких умовах збільшення автономних інвестицій приводить до коливань величини національного доходу навіть при перебуванні комбінації , в області IV.

Додамо до умов нашого приклада =10 000 і D = 500. Тоді при значеннях =0.7 і =2.5 після збільшення автономного попиту на 200 величина не буде нескінченно рости, а стане коливатися в інтервалі [677, 10 000], як це показано в табл. 9.7 і на мал. 9.8.

Якщо автономний попит збільшується з постійним річним темпом приросту x, то рівняння (9.1) приймає вид

, (9.1а)

У цьому випадку внаслідок мультиплікаційного ефекту значення рівноважного національного доходу щорічно буде зростати в (1 + x) разів. Тому при досягненні рівноважного росту величина національного доходу буде визначатися по формулі

(9.3)

Перший співмножник у правій частині вираження (9.3) називається супермультиплікатором Хікса. Він показує, на скільки зросте національний дохід у році t; при збільшенні автономних інвестицій того ж року на одиницю понад їхній екзогенний ріст у темпі (1 + х).

Унаслідок щорічного збільшення автономних інвестицій з тим же темпом будуть рости виробничі потужності ( ) - верхня межа можливих коливань національного доходу:

0	2000	1400	0	600
1	2200	1400	0	800
2	2640	1540	300	800
3	308	1848	660	800
4	4117	2315	1002	800
5	4896	2882	1214	800
6	5396	3427	1168	800
7	5326	3777	749	800
8	4424	3728	-104	800
9	2543	3097	-1353	800
10	-240	1780	-2821	800
11	-3544	-168	-4176	800
12	-6637	-2481	-4956	800
13	-8486	-4646	-4639	800
14	-7912	-5940	-2772	800
15	-3879	-5539	859	800
16	4135	-2715	6050	800
17	15716	2894	12021	800
18	29173	11001	17371	800
19	41406	20421	20185	800
20	48134	28984	18349	800
21	44585	33693	10091	800
22	26687	31209	-5322	800
23	-7366	18680	-26847	800
24	-55437	-5156	-51080	800
25	-110112	-38806	-72106	800
26	-158291	-77078	-82012	800
27	-182272	-110804	-72268	800
28	-162761	-127590	-35970	800
29	-83866	-113932	29266	800
30	60434	-58706	118341	800

0	2000	1400	0	600
1	2200	1400	0	800
2	2840	1540	500	800
3	4388	1988	1600	800
4	7741	3071	3870	800
5	14603	5419	8384	800
6	28175	10222	17153	800
7	54455	19723	33932	800
8	104617	38118	65698	800
9	199436	73232	125404	800
10	377453	139605	237048	800

Таблиця 9.6

Взаємодія мультиплікатора і

акселератора при = 0.7, = 2.5

Таблиця 9.5

Взаємодія мультиплікатора і

акселератора при = 0.7, = 1.5

Мал. 9.6. Динаміка національного доходу унаслідок взаємодії мультиплікатора й акселератора при перебуванні значень і в области III.

Мал. 9.7. Динаміка національного доходу унаслідок взаємодії мультиплікатора й акселератора при перебуванні значень і в області IV.

0	2000	1400	0	600
1	2200	1400	0	800
2	2640	1540	500	800
3	3548	1848	1100	800
4	5353	2483	2270	800
5	8861	3747	4514	800
6	10000	6203	8769	800
7	10000	7000	2846	800
8	7600	7000	0	800
9	5420	5320	-500	800
10	3894	3794	-500	800
11	2825	2725	-500	800
12	2078	1978	-500	800
13	1554	1454	-500	800
14	1188	1088	-500	800
15	931	881	-500	800
16	752	652	-500	800
17	677	526	-448	800
18	888	474	-186	800
19	1747	621	526	800
20	3972	1223	2149	800
21	8942	2780	5561	800
22	10000	6259	12424	800
23	10000	7000	2644	800
24	7600	7000	0	800
25	5420	5320	-500	800
26	3894	3794	-500	800
27	2825	2725	-500	800
28	2078	1978	-500	800
29	1554	1454	-500	800
30	1188	1088	-500	800

Мал. 9.8. Обмеження меж коливання рівня національного доходу при взаємодії мультиплікатора й акселератора за умови і .

Темпу росту виробничих потужностей відповідає ріст річних амортизаційних нарахувань:

З огляду на це, визначимо нижню межу коливань рівня національного доходу. Коли індуковані інвестиції досягають свого мінімального значення:

, тоді загальний обсяг автономних витрат буде дорівнювати

і величина національного доходу досягає мінімуму

чи, приймаючи в увагу, що в розглянутих умовах :

Таблиця 9.7

Взаємодія мультиплікатора й

акселератора при = 0.7, = 2.5,

Т аким чином, при рості автономних витрат з постійним темпом коливання національного доходу, що випливають з моделі взаємодії мультиплікатора й акселератора здобувають вид, зображений на мал. 9.9.

Мал. 9.9. Дія супермультиплікатора Хікса.