Методические указания к решнию задачи № 1

Внутренние усилия в сечении бруса определяются при помощи метода сечений, суть которого состоит в выполнении следующих операций:

- брус рассекается на две части воображаемой плоскостью;

- одна из частей бруса отбрасывается;

- в месте разреза прикладываются внутренние усилия, которые передаются со стороны отброшенной части бруса на его оставшуюся часть;

- для оставшейся части бруса записываются уравнения ее равновесия, из которых находятся величины внутренних усилий в рассматриваемом сечении.

В общем случае нагружения возможно записать шесть подобных уравнений, а для частного случая растяжения – сжатия только одно. Для этого брус рассекают на две части плоскостью, перпендикулярной его оси, отбрасывают одну из образовавшихся частей и прикладывают к оставленной в месте разреза вектор неизвестного внутреннего усилия, направленного от сечения вдоль оси бруса. Затем вычисляют алгебраическую сумму проекций всех сил, приложенных к оставшейся части бруса, на его ось. Решив уравнение равновесия, находят величину продольной силы N, которую вначале считали растягивающей. Если результат решения уравнения равновесия отрицательный, то сила N не растягивает, а сжимает оставшуюся часть бруса.

Рис.1.36. Расчетные схемы к задаче № 1

Рис.1.36. Расчетные схемы к задаче № 1 (продолжение)

Рис.1.36. Расчетные схемы к задаче № 1 (продолжение)

Пример решения задачи № 1

Ступенчатый брус нагружен силами , и (рис. 1.37, а).

Требуется построить эпюру продольных сил N, подобрать сечения и из условия прочности бруса и построить эпюры напряжений и продольных перемещений .

Решим рассматриваемую задачу, приняв:

 кН,  кН,  кН;  м,  м,  м; ; ; , .

Рис. 1.37. Расчетная схема бруса и эпюры: а) расчетная схема;

б) эпюра продольных сил; в) эпюра напряжений;

г) эпюра продольных перемещений

1.Построение эпюры продольных сил N.

К заданному брусу приложены три нагрузки, действующие в разных сечениях, следовательно, продольная сила по его длине будет изменяться. Разбиваем брус на участки, в пределах которых продольная сила будет постоянной. В данном случае границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы. Обозначим эти сечения буквами А, В, С, D. Для определения продольной силы N на каждом участке рассматриваем произвольно выбранное поперечное сечение, внутреннее усилие в котором находится методом сечений.

Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D, начинаем расчеты с незакрепленного сечения бруса (сечение А).

Участок АВ, сечение I-I. Рассекая брус в этом сечении на две части, отбрасываем его левую часть, на которую, кроме заданных нагрузок и , действует неизвестная нам реакция в заделке. К оставшейся правой части бруса прикладываем в месте разреза внутреннюю продольную силу , считая ее растягивающей (рис. 1.38, а).

Рис.1.38. Определение внутренних продольных усилий в поперечных сечениях бруса

Составляем уравнение равновесия

тогда

Участок ВС, сечение II-II (рис. 1.38, б). Проделав аналогичные операции, получим

Отрицательное значение силы говорит о том, что на участке ВС брус не растянут, а сжат.

Для участка СD, проведя сечение III-III (рис. 1.38, в), имеем:

На участке СD, как и на предыдущем участке, брус сжат.

По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру продольных сил, учитывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна.

Положительные значения N откладываем вверх от оси эпюры, отрицательные – вниз (рис. 1.37, б).

2. Подбор сечений и из условия прочности бруса.

Из эпюры N следует, что на участке СD внутреннее усилие по своему модулю максимально, таким образом условие прочности материала бруса для всех сечений этого участка имеет вид

.

Тогда

;

.

3.Построение эпюры напряжений .

По формуле (1.1) вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:

;

.

При вычислении нормальных напряжений значения продольных сил N подставляются в формулы в ньютонах с учетом их знаков, площади поперечных сечений – в . Знак плюс соответствует растяжению, минус - сжатию. Эпюра напряжений (рис. 1.37, в) строится аналогично эпюре продольных сил N.

4. Построение эпюры продольных перемещений.

Для построения эпюры продольных перемещений вычисляют, используя закон Гука (1.9), абсолютные удли­нения отдельных участков бруса, в пределах которых продольная сила постоянна и площадь поперечного сечения не изменяется:

;

.

Примечание. Значение модуля Юнга подставляется в паскалях:

Определяем перемещения сечений, начиная с неподвижного закрепленного конца. Так как сечение D расположено в заделке, оно не может смещаться и его перемещение равно нулю:

Сечение С сместится в результате изменения длины участка CD, на котором брус сжат

.

Отрицательная величина перемещения означает, что сечение С сместится влево.

Перемещение сечения В является результатом изменения длин участков DC и CB. Складывая их удлинения и учитывая, что эти участки бруса сжаты, получаем

.

Сечение В сместится влево.

Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сечения А:

.

Сечение А сместится влево.

В выбранном масштабе откладываем вниз от оси эпюры в сечениях D, C, B, A значения вычисленных перемещений. Учитывая, что в соответствии с законом Гука, в пределах участков перемещения сечений изменяются по линейной зависимости, соединяем полученные точки прямыми линиями, строя эпюру продольных перемещений (рис. 1.37, г).