Прикладная математика

Задание 1.

Даны натуральные числа a и b. Найти их каноническое разложение. Вычислить их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Вычислить НОД (a, b) с помощью алгоритма Евклида. Выписать соотношение Безу для чисел a и b с помощью расширенного алгоритма Евклида.

a = 1296, b = 1476.

Решение задания 1.

Выполним каноническое разложение чисел а и b:

1296 = 2⁴ · 3⁴; 1476 = 2² · 3² · 41.

Отсюда находим: НОД (1296, 1476) = 2² · 3² = 36;

НОК (1296, 1476) = 2⁴ · 3⁴ · 41 = 53136.

Вычислим НОД (1296, 1476) с помощью алгоритма Евклида:

Следовательно НОД (1296, 1476) = 36.

Воспользуемся вычислениями НОД (1296, 1476) из предыдущего решения. Обратной прогонкой алгоритма Евклида построим соотношение Безу для данных a = 1296 и b = 1476.

Получим соотношение Безу:

Задание 2.

Вычислить φ(a), φ(b) для a и b из задания 1, φ(n), где n = 2010 + k, k – номер варианта в данной контрольной работе (вариант – 10).

Решение задания 2.

Для вычисления φ(1296), φ(1476), φ(2020) найдем каноническое разложение чисел а, b и n.

1296 = 2⁴ · 3⁴; 1476 = 2² · 3² · 41; 2020 = 2² · 5 · 101.

Задание 3.

Построить таблицы сложения и умножения в кольце классов вычетов Z/mZ, где m = 10 + k, k – номер варианта в данной контрольной работе. К каждому классу из Z / mZ указать обратный класс или обосновать его отсутствие. Сравнить количество всех обратимых классов с φ(m). Циклична ли группа Z / mZ*?

Решение задания 3.

Строим таблицы сложения и умножения в кольце классов вычетов Z / 20Z.