Сложение коллинеарных скользящих векторов
Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы
Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).
Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.
Произведение вектора на число
Произведением вектора и числа λ называется вектор, обозначаемый (или ), модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если же , или вектор нулевой, тогда и только тогда произведение — нулевой вектор.
Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, .
Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:
если , то . Наоборот, если , то при некотором λ верно равенство ;
всегда °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.
Скалярное произведение
Скалярным произведением векторов и называют число, равное , где — угол между векторами и . Обозначения: или .
Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол не определён, произведение равно нулю.
Свойства скалярного произведения векторов:
— коммутативность.
— дистрибутивность.
— линейность по отношению к умножению на число.
— норма вектора (Квадрат вектора).
Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора на направление единичного вектора.
Векторное произведение
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними
вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.
Обозначение:
Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.
Свойства векторного произведения:
При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть
Векторное произведение обладает распределительным свойством:
Смешанное произведение
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).
Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах .
История
Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (лат. vector, несущий) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид