111. На частицу массой 100 г действует сила, зависящая от времени по закону F=0.2t. Найти уравнение движения и путь за первые 2 с.

Дано:

m=100г=0,1кг

F=0,2t

T=2c

Найти:

х(t)-?

S=?

Решение:

Согласно 2-му закону Ньютона

F=ma               (1)

Где – ускорение тела

Решим полученное дифференциальное уравнение

(2)

Проинтегрируем   (2)

 – уравнение движения

Найдем путь за первые две секунды

м

Ответ: , м.

Дано:

m

R

Найти:

J-?

Решение:

Момент инерции относительно осиz системы или тела, которые состоят из N материальных точек, равен сумме моментов инерции этих точек относительно данной оси:

(3)

Разобьем обруч на бесконечно малые участки с массой dm.

Рис.1.

Расстояние от каждого такого участка до оси его вращения будет равно:

R` =Rsinά, , гдеά- угол, который, меняется от 0 до 2π.

Тогда момент инерции обруча будет равен:

Умножая массу dm на квадрат расстояния до оси вращения и производя суммирование по всем таким участкам, получим выражение для нахождения момента инерции обруча:

dJ=dm*(R*sinά)²= (m/(4π))*R²*(1-cos2ά)*dά. (4)

Интегрируя, получим:

(5)

Ответ: J = (m/(4π))*R²*(1-cos 2ά)*dά

131. На вращающейся скамье Жуковского (ω= 8 рад/с) стоит человек со стержнем длиной 2 м, массой 10 кг. Найти угловую скорость и произведенную работу, если стержень, стоящий вертикально по оси скамьи, повернуть горизонтально, симметрично оси. Суммарный момент инерции скамьи и человека равен 4 кг*м².

Дано:

l= 2 м

m= 10 кг

ω₁=8 рад/с

φ = 180°

J₀ = 4 кг*м²

Найти:

ω₂-?

A- ?

Решение:

Считаем, что момент внешних сил относительно вертикальной оси вращения равен нулю, поэтому момент импульса этой системы сохраняется, т.е.:

J₁ω₁= J₂ω₂, гдеω₁- момент импульса системы до перемещения стержня,ω₂- момент импульса системы после перемещения стержня. (6)

J₁=J₀ , гдеJ₀ - суммарный момент инерции скамьи и человека, (момент инерции стержня до его поворота равен нулю, т.к. ось стержня и ось вращения в этот момент совпадают). (7)

J₂=J₀ + J_ст, где J_ст- момент инерции стержня. (8)

J_ст= 1/12*ml², гдеm– масса стержня,l– его длина. (9)

Тогда выражение (6) приобретет вид:

J₀ ω₁= (J₀ + 1/12*ml²)ω₂, (10)

J₀ ω₁

ω₂=------------------------- (11)

J₀ + 1/12*ml²

4 * 8

ω₂= ----------------------- = 4,36 рад/с

4+ 1/12*10*2²

Произведенная работа будет равна разности кинетической энергии системы до и после поворота стержня:

А = W₁ – W₂ (12)

J₀ ω₁²

W₁ = --------- (13)

2

(J₀ +1/12*ml²)ω₂²

W₂= --------------------------------- (14)

2

Подставляя (13) и (14) в (12), получим:

J₀ ω₁² (J₀ +1/12*ml²)ω₂²

А = ----------- + --------------------------------- (15)

2 2

4*8²(4+ 1/12*10*2²) * (4,36)²

А = -------- + ------------------------------------------ = 197,7 Дж

2 2

Ответ: ω₂= 4,26 рад/с, А = 197,7 Дж.

141. Определить период колебаний стержня длиной 20 см около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

Дано:

l= 20 см = 0,2 м

Найти:

Т-?