Ряд Тейлора
Теорема.
Если
-аналитическая
в круге
,
то
,
радиус сходимости ряда не меньше R.
Док-во:
z
R
Г
;
Это верно, когда
.
.
Функциональный
ряд * мажорируется сходящимся числовым
рядом
,
таким образом ряд * сходится равномерно
его можно интегрировать почленно.
;
Утв. Если сходится при , то на окружности радиуса R есть особые точки.
Док-во:
Предположим противное: все точки окружности – точки аналитичности.
Покроем окружность
системой окрестностей ее точек, расширим
область аналитичности. Тогда существует
окружность радиуса
,
внутри которой функция аналитическая,
следовательно ряд сходится в круге
радиуса
-не
радиус сходимости, и мы приходим к
противоречию.
Опр1. Точка называется нулем функции , если аналитическая в точке и .
Опр2. Точка называется нулем кратности k (нулем k-ого порядка) функции , если:
Пример.
- нуль функции
,
таким образом точка z=0-нуль
кратности 3.
Лемма.
Если
,
аналитические в точке
,
лежит в области аналитичности f
и
,
,
при
,
то
в некоторой окрестности точки
.
Док-во:
при
при
и т.д.
, следовательно
.
Теорема.
задана на последовательности точек
,
-
аналитическая, то
определяется значениями
единственным образом во всей своей
области определения.
Док-во:
Пусть
и
аналитические и совпадают
.
Докажем, что они совпадают всюду. Применим
Лемму к точке
:
в некоторой окружности с центром
и
совпадают. Возьмем точку пересечения
этой окружности с ломаной -
.
.
К точке
также применяем Лемму.
Д
алее
строим следующую окружность. Таким
образом за конечное число шагов
мы дойдем до точки z и
совпадают в z и .
Z
Оценки Коши коэффициентов ряда Тэйлора
Теорема.
Если
,
,
то
.
Док-во:
.
Теорема Ляувилля. Если аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена, то =const.
Док-во:
,
,
;
.
Лекция 7
Основная теорема алгебры
Теорема.
Если
,
,
то уравнение
имеет по крайней мере один корень.
Док-во:
(т.е. вне круга
радиуса М
)
Предположим, что
не имеет корней, тогда
ограничена
в круге
и
аналитическая на всей плоскости. Таким
образом по теореме Ляувилля
,
следовательно мы пришли к противоречию.
Ряд Лорана
Теорема. - аналитическая в кольце с центром , то ее можно представить в виде ряда Ларана.
Док-во:
Г
Выберем точку z внутри кольца и окружности и Г (тоже внутри кольца), так чтобы точка z лежала между ними.
1.
2.
Ряд
мажорируется рядом
Он
сходится равномерно и его можно почленно
интегрировать.
Если контур С лежит между и Г, то интеграл по С равен интегралу по , т.к. между и С функция аналитическая.
Опр. В ряде Лорана первая сумма называется правильной частью ряда Лорана, а вторая сумма – главной частью.
Следствие1.
Правильная часть сходится в круге
,
а главная часть вне круга радиуса r
(т.е. при
)
Следствие2. Из доказательства теоремы вытекает, что ряд Лорана находится единственным образом.
Пример1.
-2 0 2
;
Первое слагаемое
сходится при
,
т.е.
,
т.е. вне малой окружности.
Второе слагаемое
сходится при
,
,
т.е. внутри большой окружности.
Таким образом
получен ряд Лорана в кольце
.
П
ример2.
0 2
;
Первое слагаемое
сходится при
.
Опр.
Ряд в области
называется рядом в окрестности точки
.
Ряд Лорана в окрестности бесконечно
удаленной точки.
Утв. Если - аналитическая в окрестности -изолированная особая точка, то в окрестности :
.
Док-во:
,
;