- •Лекция№10 Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной
- •3.1.Задачи, приводящие к понятию производной.
- •3. 2. Определение производной
- •3.3. Геометрический и механический смысл производной.
- •3.4. Уравнение касательной и нормали к графику функции
- •3.5. Связь непрерывности и дифференцируемости функции
- •3.6. Правила дифференцирования Теорема 1. Производная постоянной величины равна 0, т.Е. Если , где const, то .
- •3.7. Производная степенной, показательной и тригонометрических функций
- •3.8. Обратные функции. Производная обратной функции
- •3.9. Производная сложной функции
- •3.10. Гиперболические функции и их производные
- •3.11. Таблица производных
3.8. Обратные функции. Производная обратной функции
Пусть задана функция с областью определения и множеством значений . Если каждому значению ставится в соответствие единственное значение , то определена функция с областью определения и областью значений , называемая обратной по отношению к функции . Про функции и говорят, что они взаимно обратные. Если возможно решить уравнение относительно , то по исходной функции можно найти обратную функцию. Например, для функции обратной функцией будет функция . Однако, если, как обычно, независимую переменную обозначить через , а зависимую переменную через , то функция, обратная функции , запишется в виде . В последнем примере для функции обратной будет функция .
Для существования взаимно однозначного соответствия между множествами и необходима монотонность функции. Если функция возрастает (убывает), то и обратная функция тоже возрастает (убывает). Следует отметить, что если графики взаимно обратных функций и совпадают, то графики функций и симметричны относительно биссектрисы угла первой четверти.
Теорема. Если функция строго монотонна на промежутке и имеет неравную нулю производную в любой точке этого промежутка, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством .( )
Доказательство. Рассмотрим обратную функцию . Пусть аргумент и функция испытывают приращения и . Поэтому можно записать
.
Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции.
Используем теорему о дифференцировании обратной функции для нахождения производной логарифмической функции . Рассмотрим функцию с известной производной . Тогда для обратной функции можно указать производную . Поменяв на , затем, перейдя к привычным обозначениям для аргумента и функции, получим:
.
В частном случае для натурального логарифма имеем:
.
Аналогичным образом могут быть получены производные обратных тригонометрических функций. Например, для функции обратной функцией является функция . Тогда
.
Подобным образом получаем:
, , .
3.9. Производная сложной функции
Пусть и , тогда является сложной функцией с промежуточным аргументом и независимым аргументом .
Теорема. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке , находящуюся по формуле
.
Доказательство. Поскольку , то , где при , причем .
Для функции , имеющей производную в точке , можно записать , где .
Подставив значение в выражение для имеем
.
Рассмотрим предел
.
Таким образом, производная сложной функции равна .
3.10. Гиперболические функции и их производные
В механике встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами: гиперболический синус
,
гиперболический косинус (цепная линия)
,
гиперболический тангенс
,
гиперболический котангенс
.
Между гиперболическими функциями существуют соотношения, аналогичные соотношениям между тригонометрическими функциями:
;
;
;
;
.
Найдем производные гиперболических функций:
;
;
;
;