Математические методы обработки эксперимента.

Глава 1. Некоторые понятия теории вероятностей и математической статистики

Любому закономерному процессу в технике сопутствуют случай­ные отклонения Характеристики физических свойств руды, содержание металла в руде, химический состав концентратов, плотность пульпы и т.д. имеют большие или меньшие расхождения с номиналь­ными значениями,

Точно предсказать конечный результат отдельного процесса или опыта практически невозможно, так как случайные явления каж­дый раз протекают несколько отлично. Однако при многократном повторении опыта обнаруживаются вполне определенные закономер­ности, позволяющие прогнозировать исход основной массы опытов,

Изучением закономерностей в случайных явлениях занимается теория вероятностей. Математическая статистика изучает методы анализа результатов массовых испытаний.

1,1. Событие

Исходом любого опыта (испытания), осуществляемого при впол­не определенных условиях, является событие.

Событие, которое в результате данного опыта должно непре­менно произойти, называется достоверным событием. Примером дос­товерного события является извлечение черного шара из ящика, содержащего только черные шары.

Событие, которое в результате данного опыта может произой­ти, а может и не произой-ти, называется случайным событием. При­мером случайного события является извлечение белого шара из ящи­ка, содержащего белые и черные шары.

Случайные события называются несовместимыми, если появление одного из них ис- ключает появление другого. В тех случаях, когда появление одного события не исключает возможности появления дру­гого, случайные события называются совместимыми.

Если в результате данного опыта обязательно произойдет од­но из нескольких событий, то такие случайные события называются единственно возможными.

В ряде опытов исходом могут быть такие события, каждое из которых не является объ-ективно более возможным, чем другое. Эти события называются равновозможными случай-ными событиями.

Случайные события могут быть зависимыми и независимыми. Два события называются независимыми, если вероятность любого из этих событий не зависит от наступления или ненаступления другого события. Два события называются зависимыми, если вероятность по­явления одного из них зависит от наступления или ненаступления другого.

События А₁, А₂, А₃, ... ,А_n представляют собой полную си­стему случайных событий, если исходом опыта может явиться одно из этих событий. Каждое событие, которое может наступить в испы­тании, называется элементарным случаем. Все те случаи, при кото­рых наступает интересующее нас событие, называются благоприятными этому событию.

Поскольку в технике результаты исследований и наблюдений обычно оцениваются числами, случайные события (величины) могут принимать те или иные числовые зна­чения. В ряде наблюдений случайные величины прини­мают отделенные, изолированные друг от друга значе­ния, которые заранее возможно перечислить. Такие случайные величины называются дискретными (число однотипных механизмов, ремонтируемых в данный момент в ряде цехов). Случайные величины, значения которых не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некото­рый промежуток, называются непрерывными (содер­жание кислорода в отходящих газах ряда печей).

Пусть дискретная случайная величина X может при­нимать в результате опыта значения х₁, х₂, х₃, ... х_n. Каждое из них, возможно, поэтому существует некото­рая вероятность того, что в результате опыта X при­мет данное значение.

Отношение числа опытов m, в результате которых случайная величина X приняла значение х_i к общему числу произведенных опытов n называется частотой появления события Х = х_i . Частота m/n сама является случайной величиной и меняется в зависимости от ко­личества произведенных опытов. Но при большом числе опытов она имеет тенденцию стабилизироваться около некоторого значения р_i, называемого вероятностью события

Х = х_i. Поэтому вероятность события на практике вычи­сляют по формуле

p_i = P(X=x_i) = m/n (1.1)