3.5. Связь непрерывности и дифференцируемости функции

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Функция дифференцируема в точке, следовательно, существует . По основной теореме о бесконечно малых величинах

или ,

где .

Следовательно, при , поэтому функция непрерывна.

Обратное утверждение неверно. Из того, что функция непрерывна в точке, не следует, что она дифференцируема, т.е. непрерывная функция может не иметь производную в этой точке.

Пример 1. Функция f(x) определена на промежутке следующим образом (рис.13):

При x=1 функция непрерывна, так как , но не дифференцируема.

3.6. Правила дифференцирования Теорема 1. Производная постоянной величины равна 0, т.Е. Если , где const, то .

Теорема 2. Производная суммы (разности) дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций, т.е.

.

Доказательство. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

y'=

Теорема 3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение производной второй функции на первую, т.е.

.

Доказательство.

.

Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.

.

Доказательство. По теореме о производной произведения . Поскольку производная постоянной величины равна нулю , то получаем .

Теорема 5. Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель равен квадрату знаменателя, а числитель есть разность произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, т.е.

.

Доказательство.

.

3.7. Производная степенной, показательной и тригонометрических функций

1. Степенная функция .

Найдем приращение функции , придав аргументу приращение : . Поэтому в соответствии с определением производной имеем:

.

Покажем, что бесконечно малые величины и являются эквивалентными. Пусть , а , тогда

.

Поскольку , то , а . Так как бесконечно малая величина эквивалентна величине , а бесконечно малая величина эквивалентна величине , то

.

Таким образом, производная степенной функции равна

.

2. Показательная функция .

Найдем приращение функции , придав аргументу приращение : . Поэтому

В пределе перейдем к новой переменной , которая тоже является бесконечно малой величиной. Используя второй замечательный предел и соотношение , имеем:

.

Таким образом, производная показательной функции равна

== .

При имеем: .

3. Тригонометрические функции .

Для функции имеем:

,

т.е . .

Для функции имеем:

,

т.е. - .

Для нахождения производных функций воспользуемся формулой производной частного:

.

.