Обсуждение результатов.

Проверка размерности показывает, что (241) действительно имеет размерность рад/с, надо только учесть, что «радиан» – безразмерная величина.

Интересна роль трения. Если трение не слишком велико (так, что вращение вообще возможно), то наличие или отсутствие трения в оси не влияет на начальную скорость вращения, поскольку повлиять на неё трение не успело.

Заметим также, что задачу можно было бы решить более длинным способом – используя закон сохранения полного импульса системы и закон сохранения энергии, учитывающий внутреннюю энергию (потерю кинетической энергии пули на нагрев и деформацию пластины и пули). Пример показывает, что использование закона сохранения момента импульса может облегчить решение.

Кинетическая энергия движущегося твердого тела.

Теоретическое введение.

1. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

, ( 243)

где - момент инерции и угловая скорость вращения твердого тела.

2. Полная кинетическая энергия твердого тела состоит из кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр массы и кинетической энергии поступательного движения центра массы:

. ( 244 )

Задача 35.

Два одинаковых полых цилиндра массами m и радиусами R скатываются по наклонной плоскости. Первый скатывается без проскальзывания, второй скользит не вращаясь. Найти отношение их кинетических энергий, а также скорости цилиндров в конце спуска, если начальная высота осей цилиндров была равна Н, а цилиндры покоились.

Анализ условия задачи.

Энергия первого цилиндра состоит из двух частей, соответствующих вращательному и поступательному движению. Энергия второго цилиндра совпадает с кинетической энергией равной ему по массе материальной точки.

Знание кинетических энергий цилиндров при переходе на горизонтальный участок позволяет найти их скорости.

При решении задачи надо учитывать, что оси цилиндров опускаются на высоту Н, оставаясь на высоте R над горизонтальным участком движения.

Решение.

В рассматриваемой системе имеет место закон сохранения полной механической энергии. В начальном состоянии энергия каждого цилиндра имеет форму потенциальной энергии и равна

. (245)

После спуска в точке B потенциальная энергия обращается в нуль, но появляется кинетическая энергия, численно равная (245). Однако «состав» этих энергий различен. У первого цилиндра энергия равна (см. формулу (244)),

, ( 246 )

у второго –

. ( 247 )

Рассмотрим вначале движение первого цилиндра. Так как , а момент инерции пустотелого цилиндра относительно оси вращения равен , то (246) принимает вид

. (248)

Учтем теперь закон сохранения энергии.

Для первого цилиндра он дает равенство (обратите внимание на отсутствие множителя 0,5)

, (249)

откуда следует, что

. (250)

Для второго цилиндра получаем

, (251)

поэтому

. (252)

Скорости цилиндров на горизонтальном участке определены формулами (250) и (252), а отношение кинетических энергий, естественно равно единице (потому что их начальная энергия одинакова и равна ). Если же мы рассматриваем отношение кинетических энергий поступательного движения, то

. (253)