Обсуждение результатов.

Заметим вначале, что кинетическая энергия движущегося пустотелого цилиндра делится на две равные части – на кинетическую энергию вращательного движения и кинетическую энергию поступательного движения центра масс. В результате отношения кинетических энергий оказывается равным (253). Этот факт легко проверяется экспериментально.

Важным обстоятельством является независимость скоростей (250) и (252) от угла наклона плоскости. Более того, в силу консервативности силы тяжести, эти скорости не зависят от формы поверхности, по которой происходит скатывание. Но на этой поверхности не должно быть областей, в которых потенциальная энергия превосходит mgH (не должно быть непреодолимых потенциальных барьеров).

Задача 36.

Однородный тонкий стержень массой m и длиной (см. рисунок 19) может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец. Стержень отклоняют до горизонтального положения и отпускают с нулевой скоростью. Определить для момента, когда стержень занимает вертикальное положение:

1) линейную скорость нижнего конца стержня,

2) кинетическую энергию стержня.

Анализ условия задачи.

Рассматривается разновидность физического маятника, отклоненного на большой угол от положения равновесия. При его движении, тем не менее, выполняется закон сохранения полной механической энергии.

Решение.

Так как центр масс находится посередине стержня, то потенциальную энергию стерня можно считать равной

(254)

(отсчитываем её от положения центра масс в равновесии). Кинетическая энергия при этом равна нулю (стержень покоится). Поэтому полная механическая энергия начального состояния равна (254). В конечном вертикальном положении потенциальная энергия стержня равна нулю, а кинетическая энергия, имеющая вид энергии вращательного движения около неподвижной точки подвеса, равна

. (255)

В силу закона сохранения энергии, величины (254) и (255) равны. Отсюда следует, что угловая скорость стержня при его вертикальном положении равна

. (256)

Учтя значение момента инерции стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец, найдем

. (257)

Наконец, линейная скорость конца стержня в вертикальном положении равна

. (258)

Кинетическая энергия стержня в этом положении равна, как было сказано, (255) или начальной потенциальной энергии, то есть

. (259)

Обсуждение результатов.

Заметим, что угловая скорость (256) совпадает с циклической частотой физического маятника. Заметим ещё, что скорость (258) отлична от линейной скорости материальной точки, упавшей с высоты (независимо от того, свободное это падение или движение по дуге на нерастяжимом подвесе),

. (260)

Различие связано, конечно, с различием движений рассматриваемых объектов – твердого тела (стержня) и материальной точки.

Задача 37.

Однородный диск радиусом R совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О, удаленную от центра диска С на расстояние Х. (см. рис. 20).

Пренебрегая трением, определить период колебаний диска. Рассмотреть предельный случай X>>R.

Анализ условия задачи.

Система представляет собой типичный физический маятник. Ранее (см. задачу 30) период колебаний произвольного физического маятника был найден в виде (213). Эта задача отличается только необходимостью определения момента инерции.

Решение.

Итак, период колебаний диска (студент должен уметь вывести эту формулу)

. (261)

Момент инерции системы можно определить, используя теорему Гюйгенса – Штейнера. Если момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр

, (262)

то момент инерции относительно оси, проходящей через точку О, равен

. (263)

Следовательно, период колебаний рассматриваемой системы есть

. (264)

Теперь надо рассмотреть случай X>>R. Из рис. 20 следует, что при выполнении указанного неравенства точка подвеса лежит вне диска и на большом расстоянии (предполагается, что этот подвес невесом и нерастяжим). По существу, введение неравенства X>>R означает, что мы переходим к математическому маятнику. Интересно проверить, даст ли формула (264) период колебаний математического маятника. Для проверки разложим (264) в ряд Маклорена:

. (265)

Из (265) видно, что мы получили период колебаний математического маятника с малой добавкой, стоящей в круглых скобках. Пренебрегая этой добавкой, получаем точную формулу периода колебаний математического маятника.

Рекомендуемая литература

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. – М.: «Наука», 2005.

2. Орир Дж. Физика: В 2 т. Т. 1. – М.: «Мир», 1981.

3. Горелик Г.С. Колебания и волны. – М.: «ФМ», 2005.

4. Стрекалов В.Н. Механика: конспект лекций. – М.: МГТУ «СТАНКИН», 1998.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…...…………… ……………………………………………………...3

Кинематика поступательного движения материальной точки………………..… 4

Кинематика вращательного движения материальной точки. Движение точки по плоской кривой..……………………………………………………………………..8

Динамика поступательного движения материальной точки ………………..…..12

Законы сохранения импульса и энергии ………………………….……….……..23

Гармонические колебания …...………………………………………...…………32

Затухающие колебания с вязким трением. Вынужденные колебания. Резонанс…………………...……………………………………..………………….40

Момент инерции. Момент силы. Момент импульса………………………...…...49

Динамика вращательного движения твердого тела. Закон сохранения

момента импульса……..…………………………………..………………………56

Кинетическая энергия движущегося твердого тела……………...………………65

Рекомендуемая литература………….……………………………………………..71

Содержание……………….……………………………………………...…………72

72