Обсуждение результатов.

Нам удалось показать, что любое потенциальное поле, которое вблизи минимума энергии квадратично по координате (см. формулу (140)) действует на материальную точку так, что эта точка превращается в гармонический осциллятор. Вместе с тем, (140) – результат приближения, использующего разложение (139). Если отброшенные в (139) слагаемые не малы или их необходимо учитывать по каким-то соображениям, то сила (141) получает дополнительные слагаемые, а осциллятор перестает быть гармоническим.

Затухающие колебания с вязким трением. Вынужденные колебания. Резонанс.

Теоретическое введение.

1. Если в системе гармонического осциллятора начинает действовать вязкое трение, осциллятор перестает быть гармоническим.

2. Считая, что сила вязкого трения имеет вид

, (145)

можно получить уравнение осциллятора с вязким трением

, (146)

где введен коэффициент затухания

, (147)

а собственная частота колебаний определяется, например, формулой (это для пружинного маятника)

. (148)

3. При изучении осциллятора с вязким трением рассматривают слабое и сильное затухание. Слабым считается затухание, когда

, (149)

и сильным – когда выполняется неравенство, противоположное (149).

4. В случае слабого затухания колебания происходят не на собственной частоте , а на несколько меньшей частоте (период колебаний возрастает):

. (150)

5. Для описания осциллятора с вязким трением вводят ряд характеристик затухания: – коэффициент затухания, – время релаксации (время, за которое амплитуда колебаний убывает в е = 2,73 раза, где е – основание натуральных логарифмов). Вводят также логарифмический декремент затухания d и добротность осциллятора Q:

, (151)

T – период колебаний, – число колебаний, после которых амплитуда A(t) убывает в е раз.

Добротность – это отношение энергии, запасенной системой (умноженной на ), к потерям энергии за период.

. (152)

6. Если на осциллятор с вязким трением действует внешняя сила, зависящая от времени, то говорят об осцилляторе с вынуждающей силой. Обычно изучение начинают со случая гармонической вынуждающей силы. В этом случае уравнение осциллятора имеет вид

, (153)

– частота вынуждающей силы.

7. При временах, значительно превышающих время релаксации, (153) имеет простое решение

, (154)

где амплитуда вынужденных колебаний равна

, (155)

а фаза вынужденных колебаний задана уравнением

, (156)

знаки определяются соотношениями частот : если , то берется «+», если же , то « – » .

8. При вынужденных колебаниях возможен резонанс – значительное увеличение амплитуды при приближении частоты к частоте колебаний системы. Резонанс наступает (при слабом затухании), когда

. (157)

9. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе равна

. (158)

Задача 21.

Амплитуда колебаний груза кг, подвешенного на пружине жесткостью Н/м уменьшилась в 2 раза за время с. Определить добротность системы.

Анализ условия задачи.

Уменьшение амплитуды колебаний означает, что в системе присутствуют силы трения. Источниками этих сил служат сопротивление воздуха и внутренние силы трения в пружине. Нам придется допустить, что обе эти силы имеют характер сил вязкого трения, что выполняется не всегда (особенно это касается внутренних сил трения).

Решение.

Задание массы груза и жесткости пружины позволяет определить период колебаний

. (159)

Кроме того, зависимость амплитуды от времени

, (160)

дает возможность найти коэффициент затухания ,

, (161)

или

. (162)

В свою очередь, определение логарифмического декремента затухания (151) и формулы (159), (162) позволяет найти этот декремент.

, (163)

а из (152) следует

, (164)

что и является общим решением данной задачи.

Подстановка заданных в условии величин позволяет найти 120.

Обсуждение результатов.

Найденное значение добротности характерно для обычных механических осцилляторов. Для электрических осцилляторов (скажем, колебательных контуров) добротность на низких частотах может достигать 10³, в области СВЧ – порядка 10⁵, у лазерных резонаторов свыше 10⁷.

Заметим, что есть несколько иное решение задачи, в котором добротность представляется соотношениями

. (165)

Конечная формула для добротности при таком подходе совпадает с формулой (164).

Задача 22.

Неподвижное тело, подвешенное к пружине, увеличивает её длину на см. Считая массу пружины пренебрежимо малой, определить период Т₀ малых вертикальных колебаний. Сопротивление воздуха не учитывать.

Анализ условия задачи.

Слова «неподвижное тело» следует понимать так, что груз был прикреплен к пружине и медленно опущен. При этом пружина растянулась, но колебания не возникли. Удлинение пружины позволит определить её жесткость, а затем и период колебаний. Возбуждение колебаний при этом может не происходить.

Данные из условия и результаты необходимо представить в единицах системы СИ.

Решение.

В состоянии покоя на растянутую пружину действует результирующая сила

, (166)

где и - масса груза и жесткость пружины.

Второй закон Ньютона дает для состояния равновесия

. (167)

В проекции на вертикальную ось (167) принимает вид

. (168)

Если учесть, что растяжение до состояния равновесия , то можно найти жесткость пружины

. (169)

Определив k , запишем уравнение движения груза относительно положения равновесия

, (170)

или, с учетом (168), в виде

, (171)

то есть в виде уравнения гармонического осциллятора с собственной частотой колебаний

. (172)

Масса грузика выпадает из формулы для частоты колебаний. Теперь период колебаний известен:

. (173)

Задача 23.

Найти период колебаний математического маятника, длина которого равна (см. рис. 3).

Анализ условия задачи.

Математический маятник – это материальная точка, на невесомой нерастяжимой нити, закрепленной около неподвижной точки подвеса, которая может без трения (сопротивления воздуха и сил внутреннего трения при изгибе нити около точки подвеса) совершать малые колебания под действием только силы тяжести. Перечисленные требования необходимы для проведения расчетов. Без их выполнения маятник не может считаться математическим. Мы можем воспользоваться известным соотношением .

Решение.

Рассмотрим движение материальной точки по дуге радиусом с центром в точке О. Сила натяжения нити имеет нулевую проекцию на направление движения и не влияет на это движение. Движение происходит под действием возвращающей силы (в любой момент времени эта сила стремится сместить материальную точку к положению равновесия)

, (174)

где – угол между вертикалью, проходящей через точку О и мгновенным положением нити.

Второй закон Ньютона можно записать для рассматриваемой системы в виде

. (175)

Пройденный из положения равновесия путь . Поскольку длина нити постоянна, при дифференцировании по времени появляется производная только угла отклонения, и после сокращения на массу (175) принимает вид

. (176)

В формуле (176) надо учесть, что мы рассматриваем малые углы отклонения (углы измеряются в радианах). Для малых углов (см. формулу (139))

(177)

и тогда уравнение движения

, (178)

то есть становится уравнением гармонического осциллятора с циклической частотой

. (179)

Следовательно, период колебаний математического маятника равен

. (180)

Обсуждение результатов.

Если внимательно отслеживать каждый шаг решения, то можно убедиться, что нами были использованы все требования, предъявленные ранее к системе «математический маятник». В частности, требование малости углов ( ), приводящее к (177) имеет своим следствием независимость периода колебаний от амплитуды. Это изохронность колебаний математического маятника.

Задача 24.

Рассмотреть задачу 23 в том случае, когда точка подвеса математического маятника движется вверх с ускорением .

Анализ условия задачи и решение.

По сравнению с решенной задачей 23 нужно рассмотреть маятник в системе координат, ускоренно поднимающейся вверх. Это означает, что ускорения и направлены в разные стороны, а эффективное ускорение свободного падения возрастает до их суммы. Из-за этого возвращающая сила (174) получает добавку, принимая вид

, (181)

дальнейшее решение воспроизводит решение задачи 23 и приводит к ответу

. (182)

Обсуждение результатов.

Формула (182) показывает, что у часов, ускоренно движущихся вверх период уменьшается, то есть часы в ускоренно движущейся вверх системе будут «спешить». Более интересен случай, когда маятник движется с ускорением вниз. Тогда период увеличится, а если точка подвеса будет двигаться с ускорением свободного падения ( ), то знаменатель в формуле отличающейся от (182) знаком при ускорении а, будет равен нулю. В этом случае возвращающая сила обратится в нуль, и маятник будет находиться в состоянии безразличного равновесия (время для таких часов «остановится»). Если же ускорение а, направленное вниз, превысит ускорение свободного падения, то маятник перевернется, и будет колебаться над «точкой подвеса».

Задача 25.

Тела и соединены вертикальной пружиной (см. рис. 9), массой которой можно пренебречь. Первое тело совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой а и частотой . При этом второе тело покоится. Найти максимальное и минимальное значения силы , с которой второе тело действует на поверхность.

Анализ условия задачи.

Задачу не удастся решить, если не ввести жесткость пружины . Её можно определить, считая, что известная частота , то есть (тело не отрывается от поверхности).

Решение.

Согласно условию задачи, тело 1 движется по закону , а тело 2 всё время покоится. Если бы вся система покоилась, то сила, с которой второе тело действовало на поверхность, равнялась бы силе тяжести всей системы, т.е. . При возбуждении колебаний появилась бы дополнительная сила

, (183)

ось Х направлена вниз. Знак «+» берется, когда пружина сжимается, а знак « – » когда она растягивается. Поэтому можно записать численное значение

, (184)

и

. (185)

В (184) и (185) входит максимальное смещение груза 1. Оно равно амплитуде колебаний. Итак,

, . (186)