1) Через центр диска; 2) через край диска.

Анализ условия задачи.

Для решения первой части задачи необходимо воспользоваться соображениями симметрии, которые будут обсуждаться в разделе «решение». Вторая часть задачи может быть решена «в лоб», однако это решение связано с проведением весьма сложных интегрирований; решение намного проще, если воспользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера.

Решение.

Выделим в диске кольцо с внутренним радиусом и внешним радиусом . Радиус r может изменяться в пределах от 0 до R. Центр кольца совпадает с центром диска. Поскольку кольцо очень узкое, его можно «разрезать» и развернуть в прямоугольник, длина которого , а высота равна . Поэтому площадь кольца равна

. (204)

Масса выделенного кольца равна

. (205)

Каждый элемент кольца представляет собой материальную точку, находящуюся на расстоянии r от рассматриваемой оси. В силу этой симметрии можно подсчитать момент инерции всего кольца. Он равен (см. (205))

. (206)

Полный момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска равен интегралу

. (207)

Для решения второй части задачи, воспользовавшись теоремой Гюйгенса-Штейнера, найдем

. (208)

Обсуждение результатов.

Отметим вначале общую особенность всех результатов, касающихся моментов инерции: все они пропорциональны квадрату характерного размера (длины, радиуса).

Отметим также, что результат (207) пригоден не только для плоского диска, но и для однородного цилиндра; длина цилиндра в ответ не входит.

Результат (207) можно легко обобщить на случай кольца с радиусами . Для этого нужно провести интегрирование в пределах от до .

Динамика вращательного движения твердого тела.

Закон сохранения момента импульса.

Теоретическое введение.

1. Уравнением моментов называется соотношение , моменты рассматриваются относительно одной и той же неподвижной точки.

2. При вращении твердого тела . Входящие сюда моменты, угловая скорость, угол поворота рассматриваются относительно общей неподвижной оси.

3. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

. (209)

4. Закон сохранения момента импульса. Если на твердое тело действуют только центральные силы (например, сила тяжести, сила Гука), то момент импульса относительно центра сил постоянен.

5. Общий случай закона сохранения момента импульса. Если момент внешних сил, действующих на твердое тело, равен нулю относительно некоторой точки, то момент импульса постоянен относительно той же точки: .

6. Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать малые колебания без трения около неподвижного центра, не совпадающего с центром инерции тела под действием только сил тяжести.

Задача 30.

Найти период колебаний физического маятника.

Анализ условия задачи.

Физический маятник изображен на рис. (15). «С» – центр массы, «О» – горизонтальная ось качания, не проходящая через центр массы, «ОА» – вертикаль, проходящая через ось и положение равновесия, угол «АОВ» – угол отклонения маятника от положения равновесия, расстояние между осью и центром массы (точкой приложения силы тяжести) .

Решение.

Уравнение движения физического маятника без трения можно записать в виде

, (210)

где учтено, что сила тяжести является возвращающей силой (стремиться повернуть маятник к положению равновесия, что выражается наличием знака минус в правой части уравнения (210)).

Будем считать, что момент инерции относительно оси качания равен . Для малых углов отклонения , в результате чего уравнение движения приобретает форму

. (211)

Физический маятник оказывается гармоническим осциллятором с частотой колебаний

(212)

и, следовательно, с периодом

. (213)

Обсуждение результатов.

Предположим, что маятник представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити длиной . Тогда формула (213) превращается в

, (214)

то есть в формулу периода колебаний математического маятника. Такого рода переходы от одной системы к другой являются хорошим способом проверки новых результатов.

Заметим, что величина называется приведенной длиной физического маятника.

Задача 31.

Маховик в виде однородного диска массой кг и радиусом м вращается вокруг своей оси с угловой скоростью рад/с. В момент времени t = 0 к маховику прижимают две тормозные колодки каждая с силой F = 50 Н. Коэффициент трения между маховиком и колодками = 0,3 . Найти мгновенную скорость маховика . Через какое время маховик остановится?

Решение.

Уравнение вращательного движения маховика можно записать как

или как , (215)

где знак минус учитывает, что действующие на маховик силы являются тормозящими. Силы заданы и приложены к ободу маховика, поэтому , R – плечо силы. Тогда уравнение вращения (215) принимает вид

, (216)

где мы учли явный вид момента инерции диска относительно оси вращения (207) . Теперь следует проинтегрировать уравнение вращения, что дает

. (217)

Постоянную интегрирования определим, используя начальное условие . Тогда мгновенная скорость вращения

. (218)

Отсюда следует, что время до остановки маховика равно

. (219)

Задача 32.

В устройстве (см. рис. 16) блок представляет собой однородный цилиндр массой m и радиусом R. Грузики (m₁ > m₂) связаны невесомой нерастяжимой нитью, которая не проскальзывает по блоку. Сила трения в оси блока пренебрежимо мала.

.

Анализ условия задачи.

Задача напоминает рассмотренную ранее задачу о машине Атвуда, отличаясь от неё тем, что блок обладает массой. На рис. 16 указаны действующие в системе силы и ось х , на которую мы будем проецировать векторы. Согласно условию ускорение первого тела направлено вниз, а ускорение второго тела – вверх.

Слова «нить не проскальзывает по блоку» означают, что силы трения между блоком и нитью велики, так что нить и обод блока имеют одинаковые линейные скорости (здесь нет противоречия с тем, что силами трения в оси блока мы пренебрегаем).

Решение.

Запишем уравнения второго закона Ньютона для грузиков

, (220)

(221)

и для блока, вращающегося без трения

. (222)

В (222) - момент инерции блока относительно оси вращения, его угловое ускорение и проекция моментов внешних сил на ось вращения.

Используя третий закон Ньютона, примененный к нити, запишем

. (223)

Из нерастяжимости и невесомости нити следует, что смещения грузиков равны по величине и противоположно направлены вдоль вертикальной оси. Дифференцируя эти смещения по времени дважды, находим ускорения

. (224)

Теперь система уравнений движения грузиков принимает вид (нить приводит блок в движение и поэтому силы натяжения «до» блока и «после» него различны):

, (225)

. (226)

Вычтем почленно (226) из (225). Найдем, что

. (227)

Уравнение (222) с учетом (223) и с учетом связи линейного и углового ускорений

(228)

даст

. (229)

Подставив (229) в формулу (227), найдем

. (230)

Отсюда линейное ускорение

, (231)

где учтено, что момент инерции цилиндра массой m равен .

Из (228) теперь следует, что угловое ускорение цилиндра

. (232)

Обсуждение результатов.

Мы видим, что полученный результат совпадает с решением задачи для машины Атвуда, если положить массу блока m = 0. Это означает, в частности, что описание лабораторной установки «Машина Атвуда» с нулевой массой блока приводит к появлению систематической погрешности как при определении ускорений а₁ и а₂ , так и при расчете ускорения свободного падения g.

Если блок представляет собой пустотелый цилиндр, то в (231) и (232) будет стоять полная масса блока, а не её половина.

Задача 33.

Однородный сплошной цилиндр массой m и радиусом R скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости с углом наклона . Определить ускорение оси цилиндра. Найти мгновенную скорость оси цилиндра, если его начальная скорость равна нулю.

Анализ условия задачи.

Скатывание без проскальзывания означает, что сила трения между цилиндром и наклонной плоскостью велика, так что скорость точки касания цилиндром наклонной плоскости равна нулю в каждый момент времени. В этом случае движение цилиндра можно рассматривать как вращение вокруг линии касания цилиндра и наклонной плоскости. Эта линия называется мгновенной осью вращения. Обозначим её как ось А. Вращение происходит под действием скатывающей силы.

Решение.

Скатывающая сила равна . Так как проскальзывание отсутствует, уравнение вращательного движения цилиндра может быть записано в виде

. (233)

Радиус цилиндра является плечом скатывающей силы. Отсюда следует, что угловое ускорение при вращении вокруг оси А равно

. (234)

Момент инерции для сплошного цилиндра мы находили ранее по теореме Гюйгенса – Штейнера: . Теперь линейное ускорение оси цилиндра

. (235)

Учитывая определение мгновенного ускорения как производной скорости по времени и интегрируя, найдем

. (236)

Но начальная скорость цилиндра равнялась нулю, поэтому . Значит, зависимость скорости от времени есть

. (237)

Обсуждение результатов.

Мы познакомились с понятием мгновенной оси вращения. В каждый момент времени она неподвижна относительно наклонной плоскости. Если бы сила трения была меньше (а она входит в решение только в связи со словами «без проскальзывания), то к ускорению и скорости добавлялось бы линейное смещение цилиндра, связанное с проскальзыванием.

При движении материальной точки сила трения тормозит её, тогда как при скатывании цилиндра сила трения не тормозит его, а заставляет вращаться вокруг оси.

Задача 34.

Пластина массой m и длиной может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через её узкую сторону (см. рис. 17). В нижний край пластины попадает пуля массой , летевшая со скоростью v перпендикулярно пластине. С какой угловой скоростью начинает вращаться пластина, если в момент попадания пули она покоилась в вертикальном положении?

Решение.

До попадания пули в пластину моментом импульса относительно оси ОО₁ обладала только пуля, и полный момент импульса системы равнялся (учтем, что – плечо импульса)

. (238)

После того как пуля застрянет в пластине, пластина начнет вращаться, имея момент импульса (238). Учитывая формулу, приведенную в пункте 2 теоретического введения

, (239)

можно записать закон сохранения момента импульса в виде или (в развернутой форме)

. (240)

Из (240) следует, что угловая скорость, с которой начинает вращаться пластина, равна

. (241)

Здесь, однако, требуется определить величину момента инерции I . Он состоит из суммы момента инерции пластины (см. формулу (202)) и момента инерции материальной точки – пули. В сумме получаем

. (242)

Формулы (241) и (242) определяют искомую скорость вращения.