Обсуждение результатов.

Если бы масса тела 1 была больше массы тела 2, то тело 2 могло бы подскакивать на опорной поверхности, и тогда . Утверждение, что тело 2 всегда покоится, означает, что колебания происходят с не слишком большой амплитудой, так, что всегда .

Момент инерции. Момент силы. Момент импульса.

Теоретическое введение.

1. Абсолютно твердым (или просто «твердым») твердым называется тело, в котором отсутствуют относительные перемещения его отдельных частей.

2. Моментом инерции материальной точки относительно указанной оси ОО₁ называется произведение массы точки на квадрат расстояния до оси,

. (187)

3. Момент инерции теряет смысл, если ось OO₁ не указана.

4. Момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции каждой точки, рассматриваемых относительно одной и той же оси (см. рис. 10).

Если имеется N материальных точек, то полный момент инерции равен

. (188)

5. Момент инерции твердого тела подсчитывается путем интегрирования, смысл которого понятен из рис. 11. Для этого всё тело разбивают на малые участки (материальные точки ), вводят соответствующие расстояния до рассматриваемой оси, а потом интегрируют элементарные моменты инерции.

Элементарный момент инерции выделенного участка тела (см. рис. 11) равен

. (189)

Интегрирование по всему телу даст его полный момент инерции относительно указанной оси:

. (190)

6. Моментом силы относительно неподвижной точки О (см. рис. 12) называется векторное произведение

, (191)

где - радиус–вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы, - проекции вектора момента силы на соответствующие оси.

Численное значение момента силы равно

, (192)

где - угол между векторами. Момент силы или в зависимости от того, по часовой стрелке вращает систему этот момент, или в противоположном направлении.

Длина называется плечом силы относительно точки О.

7. Моментом импульса относительно неподвижной точки О называется векторное произведение

. (193)

Для момента импульса справедлив рисунок 11 и формулы (191) – (192) с заменой силы на импульс .

8. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, плюс произведение массы тела, умноженной на квадрат расстояния а между осями: .

Задача 26.

Сила , имеющая проекции , приложена к точке (4, 5, 6) м. Определить:

1) момент силы относительно начала координат;

2) момент силы относительно оси z;

3) плечо силы d относительно оси z.

Решение.

1. Для определения момента силы воспользуемся определителем (191), который в нашем случае дает

(194)

2. Момент силы относительно оси z или проекция момента (194) на ось z равна скаляру, стоящему при единичном векторе , то есть Нм.

3. Проекцию момента силы на ось z можно записать в виде

, (195)

где знаком « » отмечены величины, перпендикулярные оси z: , . Тогда из (195) следует, что

, (196)

где – угол между векторами и ; – плечо силы относительно оси z, а составляющая силы .

Следовательно, плечо силы относительно оси z равно

м. (197)

Задача 27.

Частица массой г движется с постоянной скоростью км/час в положительном направлении оси х по закону движения . Определить:

1. Момент импульса частицы относительно точки (0, 1, 0) м.

2. Момент импульса частицы относительно оси у.

Анализ условия задачи.

Во-первых, следует обратить внимание на размерности заданных в условии величин и перевести их в единицы системы СИ.

Во-вторых, в условии не объяснено, что значит «в положительном направлении оси х». Принципиальное значение имеет расстояние между осью х и траекторией движения. Мы будем считать, что частица движется по оси х.

Решение.

Систему можно изобразить так, как показано на рис. 13.

1. Момент импульса относительно указанной точки определяется согласно формуле (193) (см. также (191)). Вычисление определителя дает

. (198)

Мы видим, что момент импульса направлен за плоскость рисунка.

2. Вычисление того же определителя показывает, что проекция .

Задача 28.

Вычислить момент инерции однородного тонкого стержня длиной и массой относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей

1) через конец стержня;

2) через середину стержня.

Анализ условия задачи.

Решение похожей задачи вкратце обсуждалось в п. 5 теоретического введения (см. (189) и (190)). Теперь надо выполнить интегрирование.

Решение.

Воспользуемся рисунком 14, который поможет решить задачу.

Рассмотрим вначале первый случай.

Выделим на стержне элемент . Поскольку линейная плотность стержня (масса отрезка стержня единичной длины) равна

кг/м , (199)

масса этого элемента (материальной точки) равна

. (200)

Так как координата этого элемента (расстояние от оси ОО₁) равна х, то момент инерции этого элемента равен (см. формулу (187))

. (201)

Полный момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню, будет найден посте интегрирования (201) в пределах от 0 до :

. (202)

При изучении второго случая учтем, что интегрирование нужно проводить в

пределах от до (ось проходит через середину стержня). Находим

. (203)

Обсуждение результатов.

Первое, на что следует обратить внимание – подтверждение того, что положение оси радикально влияет на величину момента инерции.

Второе: сопоставление (202) и (203) является иллюстрацией теоремы Гюйгенса – Штейнера для рассмотренного частного случая.

Задача 29.

Вычислить момент инерции сплошного однородного диска массой и радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей: