Решение.

Для упрощения решения задачи целесообразно воспользоваться рисунком 4, показывающим основные характеристики системы.

Для наглядности мы выделим массы и , а также скорости и , хотя по условию задачи они равны численно. При этом мы будем считать, что , а . Скорость слипшегося куска пластилина, масса которого равна , обозначим вектором

Используя закон сохранения импульса, можно записать

, (96)

или

. (97)

Из последнего равенства следует, что искомая скорость слипшегося комка пластилина равна

или . (98)

Как было отмечено, закон сохранения полной механической энергии в системе не справедлив, но можно записать закон сохранения, учитывающий появление внутренней энергии ,

. (99)

В развернутом виде (98) приобретает форму

, (100)

то есть

. (101)

Учтем теперь равенство масс и численное равенство скоростей. Получим

. (102)

Тогда

. (103)

При заданных соотношениях масс, скоростей и направлений во внутреннюю энергию перейдет половина начальной кинетической энергии пластилина.

Обсуждение результатов.

Любопытно, что во внутреннюю энергию переходит весьма заметная часть начальной энергии. Однако этот результат не всегда столь однозначен. Мы рассмотрели абсолютно неупругий удар. Но если пластилин охладить, неупругость соударения может привести к изменению результата. Представьте себе, что «слипшиеся» куски пластилина соединены пружинкой, представляющей собой частичную «упругость» связи этих кусков. Тогда возможно возбуждение колебаний кусков относительно их общего центра масс, на что будет затрачена энергия, отличная от .

Задача 15.

Система состоит из двух последовательно соединенных пружин, с жесткостями и (см. рис. 5). Определите работу необходимую для того, чтобы растянуть пружины на общую длину .

Анализ условия задачи.

Потенциальная энергия растянутой (сжатой) пружины (84), причем х - это растяжение или сжатие пружины из состояния равновесия, когда потенциальная энергия пружины равно нулю. В рассматриваемой системе две пружины, поэтому надо определить растяжение каждой из них, а затем найти искомую полную энергию системы, которая и определяет необходимую работу.

Решение.

Полная работа, которую надо совершить для требуемого растяжения двух пружин, равна сумме энергий, запасенных в каждой из них:

. (104)

Потенциальная энергия растянутой пружины (84) в нашем случае может быть записана как . Поэтому, для определения работы необходимо найти удлинения каждой из пружин. Относительно этих удлинений известно, что их сумма равна общему удлинению пружин, . Далее, применяя третий закон Ньютона к точке соединения пружин, найдем, что , или . Из последнего, с учетом закона Гука , следует: . Если учесть связь с общим удлинением, то можно записать

. (105)

Следовательно, . После этого легко найти . Окончательное выражение для искомой работы

. (106)

Гармонические колебания.

Теоретическое введение.

1. Гармоническим осциллятором называется любая физическая система, уравнение движения (в самом общем смысле) которой имеет вид

, (107)

где - циклическая частота гармонического осциллятора (размерность рад/с), связанная с периодом колебаний соотношением

. (108)

2. Закон движения гармонического осциллятора (решение уравнения (108)) есть

, (109)

где А – амплитуда, – полная и начальная фазы осциллятора.

3. Как обычно, мгновенной скоростью осциллятора называется первая производная по времени от «смещения» , ускорением осциллятора – вторая производная.

4. Если материальная точка находится в потенциальном поле с потенциальной энергией , то на неё действует консервативная сила

. (110)

В случае одномерного потенциального поля

. (111)

Задача 16.

Рассмотрим движение грузика, прикрепленного к невесомой пружине жесткостью k, способного без трения двигаться вдоль оси х. Докажем, что система является гармоническим осциллятором. Найдем циклическую частоту. Рассматриваемая система изображена на рис. 6.

x

k

Рис. 6. К задаче 16

Анализ условия задачи.

Если в положении равновесия (недеформированная пружина) грузик находится в начале координат, то растяжение должно быть много меньше длины пружины, . Только тогда справедливо приближение Гука и осциллятор является гармоническим. Подход, используемый в данной задаче, является обычным при решении любой задачи, связанной с изучением гармонического осциллятора.

Решение.

Поскольку трения нет, то нет необходимости учитывать силу тяжести (грузик «висит» над опорой). Учитывается только сила Гука. Тогда второй закон Ньютона дает

. (112)

Отсюда следует уравнение движения гармонического осциллятора

, (113)

где квадрат циклической частоты

. (114)

Согласно стандартному определению циклической частоты

, (115)

а период колебаний рассматриваемого гармонического осциллятора

. (116)

Задача 17.

Пусть частица совершает гармонические колебания около положения равновесия х = 0 с частотой рад/с. В начальный момент её координата равна м, а скорость м/с. Найти закон движения частицы.

Анализ условия задачи.

Имеется типичная задача о движении частицы, для однозначного решения которой надо использовать заданные начальные условия. Особенность задачи

состоит только в том, что рассматривается гармонический осциллятор.

Решение.

Общий вид закона движения гармонического осциллятора имеет вид

. (117)

Надо определить амплитуду и начальную фазу колебаний (они представляют собой произвольные постоянные интегрирования).

Прежде всего, задание величины х₀ позволяет получить из формулы (117) уравнение

. (118)

Далее, дифференцируя (117) по времени, найдем мгновенную скорость осциллятора:

. (119)

Используя второе начальное условие, получим

. (120)

Совместное решение (118) и (120) позволяет найти требуемые величины. В частности, разделив почленно уравнение (120) на уравнение (118), найдем

или . (121)

Подстановка (121) в (118) позволяет определить амплитуду:

. (122)

Теперь общий вид требуемого решения полностью определен и для завершения задачи надо подставить в (121) и (122) численные значения, указанные в условии.

Задача 18.

Рассмотреть движение тела массой кг в двух системах, показанных на рис. 7. Массами пружин и трением можно пренебречь. Коэффициенты жесткости Н/м и Н/м. Определить периоды колебаний тела в этих системах.

Анализ условия задачи.

В задаче нет чего-либо специфического. Рассматриваются одномерные гармонические осцилляторы несколько более сложного устройства, чем прежде.

Решение.

Рассмотрим первую систему. Движение происходит вдоль оси Х и уравнение движения имеет вид

. (123)

Знаки в уравнении (123) одинаковы, потому что обе силы Гука действуют на грузик в одну и ту же сторону (первая пружина растягивается, вторая – сжимается). Обе силы являются возвращающими. Уравнение (123) приводится к уравнению движения гармонического осциллятора:

, (124)

где, очевидно,

. (125)

Следовательно, период колебаний первой системы равен

. (126)

Рассмотрим вторую систему. Для неё справедливо утверждение, что общее смещение грузика равно сумме растяжений каждой из пружин: . Кроме того, из третьего закона Ньютона следует, что точка соединения пружин должна испытывать действие сил , или, по модулю, . Обе эти силы – силы Гука, и из их равенства следует, что . Значит, . Теперь . Отсюда , где - уже известная величина.

Второе уравнение Ньютона для грузика m имеет вид

. (127)

Подстановка величины в (127) дает

, (128)

то есть уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой

. (129)

Период гармонических колебаний второй системы равен

. (130)

Задача 19.

Пуля массой , летевшая горизонтально со скоростью , застревает в бруске массой , который покоился на горизонтальном столе. Брусок связан с неподвижной стенкой пружиной, жесткость которой равна . Определить период и амплитуду колебаний бруска. Массой пружины и силами трения можно пренебречь.

Анализ условия задачи.

Решая подобные задачи, мы пренебрегали силами трения, не останавливаясь на обсуждении характера этих сил. При более строгом подходе надо понимать, что имеется как минимум две силы трения: трение бруска о стол и трение внутри пружины при её сжатии или растяжении.

Нужно еще учитывать, что замкнутость системы обеспечивает выполнение закона сохранения импульса, а наличие неконсервативных сил деформации бруска и пули – нарушает закон сохранения полной механической энергии.

Решение.

После попадания пули в брусок полная масса системы становится равной . Поскольку при этом возникают неконсервативные силы, применим только закон сохранения импульса: . В нашем случае этот закон даёт соотношение , где - скорость движения бруска сразу после попадания пули или начальная скорость осциллятора.

Уравнение движения бруска с пулей есть

, (131)

или

, (132)

где

. (133)

Поэтому искомый период колебаний равен

. (134)

Решение уравнения движения осциллятора имеет, как известно, вид , А – неизвестная амплитуда колебаний. Поскольку кубик в начальный момент времени находился в точке , первое начальное условие дает равенство , откуда следует, что .

Скорость осциллятора , и её максимальное (начальное) значение равно . Соответственно этому начальный импульс кубика вместе с пулей равен , поэтому закон сохранения импульса дает . Отсюда следует, что амплитуда колебаний равна

. (135)

Задача 20.

Частица массой находится в одномерном потенциальном поле, в котором потенциальная энергия зависит от координаты х согласно формуле

, (136)

и – положительные постоянные. Найти период малых колебаний частицы около точки х = 0, если .

Анализ условия задачи.

Задача имеет две особенности. Во-первых, мы должны познакомиться с разложением функции в ряд Маклорена при малых значениях аргумента. Этот вопрос изучается в курсе математического анализа. Поэтому некоторые результаты будут приведены без доказательств. Во-вторых, мы воспользуемся понятием «оператор набла» и найдем силу, действующую на материальную точку в потенциальном поле – для простейшего случая.

Решение.

В курсе математического анализа доказывают, что функцию , в области малых значений можно разложить в ряд типа

. (137)

Например,

. (138)

Другой пример,

(139)

Для решения задачи нам достаточно ограничиться первым слагаемым а (139). Тогда для заданного в условии задачи потенциального поля получим

. (140)

Учитывая соотношение (140) и формулу (111), найдем, что сила, которая действует на частицу со стороны потенциального поля, равна

. (141)

Запишем второй закон Ньютона, рассматривая проекции векторов на ось х:

. (142)

Из (142) следует, что уравнение движения материальной точки в указанном потенциальном поле есть уравнение движения гармонического осциллятора с циклической частотой

. (143)

Соответственно, период колебаний

. (144)