Обсуждение результатов.

Формула (77) однако, не является окончательным ответом. Требуется еще учесть, что после некоторого времени падения камень остановится, упав на Землю. Мы не сможем довести решение задачи до определения времени падения . Надо лишь понимать, что решение (77) справедливо в рассмотренной модели только для времен .

Интересно исследовать предельные случаи решения. Так, если время падения достаточно велико, а именно, , то показатель экспоненты в (77) можно считать равным «минус бесконечности», а саму экспоненту – равной нулю. Тогда скорость перестает изменяться со временем, то есть скорость достигает своего максимального значения. Так, в среднем, максимальная скорость падения человека без парашюта достигает 75 м/с.

Интересно рассмотреть предельный случай , когда скорость должна неограниченно возрастать. Приведенное решение, однако, не позволяет сделать это. Дело в том, что на одном из этапов решения мы делили обе части (68) на ; поэтому рассматривать указанный предельный случай нельзя.

Законы сохранения импульса и энергии.

Теоретическое введение.

1. Сила и средняя сила

, , (78)

где – изменение импульса за время .

2. Замкнутая система – такая система, на которую не действуют внешние силы.

3. Закон сохранения импульса. Полный импульс системы, на которую не действуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю, сохраняется:

. (79)

4. Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении равна

, (80)

где - угол между осью х и направлением действия силы.

5. Работа произвольной силы при произвольном перемещении вдоль контура :

. (81)

6. Сила называется консервативной, если интеграл по произвольному замкнутому контуру

. (82)

7. Консервативными являются сила тяжести, электромагнитные силы, сила упругости. Силы трения, силы, сопровождающие неупругие деформации, не являются консервативными.

8. Мощностью называется производная работы по времени (измеряется в Ваттах (Вт) или в Джоулях за секунду (Дж/с)),

.

9. Механическая энергия это сумма кинетической и потенциальной энергий, ,

, (83)

примерами потенциальных энергий могут служить энергия частицы в поле тяжести, , или энергия растянутой пружины с жесткостью ,

. (84)

10. Закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, сохраняется:

. (85)

Задача 11.

Какую скорость неподвижному мячу массой кг сообщает футболист, если максимальная сила удара , а время удара с? Сила нарастает и убывает линейно по времени (см. рис. 2)

Анализ условия задачи.

Мяч представляет собой замкнутую систему, если не учитывается его взаимодействие с землей и сопротивление воздуха. Тогда для мяча справедлив закон сохранения импульса. В действительности даже эти ограничения не существенны, если рассматривается «баллистический» режим, когда за очень малое время изменения импульса внешними воздействиями (кроме удара) можно пренебречь.

Решение задачи можно провести разными методами. Например, задать силу как определенную функцию, соответствующую графику на рис. 1, и проинтегрировать мгновенную силу (78) на интервалах (0, t₁) и (t₁, ). В результате будет найден импульс мяча, а затем и его максимальная (начальная) скорость. Есть, однако, более простой метод решения, которым мы и воспользуемся. Он основан на графическом определении средней силы удара.

Решение.

Из рис. 2 следует, что средняя за время удара сила равна (чтобы проверить это, достаточно провести горизонтальную линию на высоте и убедиться в том, что «отсеченный» треугольник дополняет оставшуюся трапецию до прямоугольника). Тогда из определения средней силы (78) следует, что за время удара изменение импульса мяча равно

. (86)

Но , поскольку начальная скорость мяча равна нулю. Следовательно, скорость мяча в начале его полета равна

. (87)

Обсуждение результатов.

Численное значение скорости v=28 м/с. Это близко к скорости автомобиля на автостраде или скорости полета напуганной выстрелом утки.

Задача 12.

Тележка массой m движется без трения по горизонтальной поверхности со скоростью v₀ . В момент t = 0 начинает идти снег, падающий вертикально вниз. Найти зависимость скорости тележки от времени, если за единицу времени к тележке прилипает кг/с снега.

Анализ условия задачи.

Тележка не испытывает вертикальных перемещений, совершая одномерное горизонтальное движение. Падающий снег оказывает некоторое давление на тележку, изменяя реакцию опоры. Если бы имелась сила трения, то она, во-первых, изменялась бы с течением времени, а, во-вторых, являлась бы внешней силой, нарушающей применимость закона сохранения импульса. В условиях данной задачи эти эффекты не учитываются и для горизонтальной составляющей импульса закон его сохранения справедлив.

Решение.

Импульс падающего снега направлен вертикально вниз и потому не изменяет горизонтальной составляющей импульса тележки. Поэтому из закона сохранения импульса следует, что импульс тележки в любой момент времени одинаков. Это означает, что

. (88)

Следовательно, скорость тележки в произвольный момент времени

. (89)

В пределе тележка остановится, хотя по условию сил трения нет..

Обсуждение результатов.

В действительности тележка остановится за более короткое время. Во-первых, даже на чистой поверхности тяжелая от снега тележка начнет испытывать силу сухого трения. Во-вторых, трудно реализовать случай, когда снег падает только на тележку, и не падает перед ней. Поэтому при движении тележка должна преодолевать всё возрастающий снеговой покров, что вызовет дополнительную тормозящую силу.

Задача 13.

Материальную точку m , подвешенную на невесомой нерастяжимой нити длиной отвели в сторону так, что натянутая нить заняла горизонтальное положение, а затем отпустили. Определить ускорение материальной точки и силу натяжения нити в момент, когда нить образует угол с вертикалью. Сопротивление воздуха не учитывать.

Анализ условия задачи.

Рассматривается пример движения материальной точки по плоской кривой – в данном случае – по дуге окружности. Материальная точка в произвольный момент времени обладает как потенциальной, так и кинетической энергией. В системе действуют только консервативные силы, и для неё справедлив закон сохранения полной механической энергии.

Решение.

Изучаемая система изображена на рис. 3 для некоторого момента времени. Шарик (материальная точка) испытывает нормальное ускорение (19) и тангенциальное ускорения, которые в данной задаче имеют численные значения (могут рассматриваться как скаляры)

, . (90)

Поскольку тангенциальное ускорение найдено, для определения полного ускорения нужно найти только нормальное ускорение. Для этого заметим, что из начального состояния шарик опустился на высоту , и его потенциальная энергия

(91)

перешла в кинетическую энергию

. (92)

Применяя закон сохранения полной механической энергии (приравнивая (91) и (92)), найдем, что скорость шарика равна . Тогда нормальное ускорение равно , а полное ускорение

. (93)

Для определения натяжения нити запишем закон движения в проекции на направление нити

. (94)

Численное значение силы натяжения будет равно

. (95)

Обсуждение результатов.

Если нить горизонтальна (в начальный момент ), то её натяжение равно нулю, а полное ускорение равно ускорению свободного падения. Это очевидные факты, которые, тем не менее, следуют из формул (93) и (95).

Задача 14.

Два пластилиновых шарика одинаковой массы кг, двигаясь по перпендикулярным направлениям с одинаковыми по величине скоростями м/с, сталкиваются и прилипают друг к другу. Определить скорость образовавшегося комка пластилина и количество теплоты Q , выделившееся при столкновении.

Анализ условия задачи.

Поскольку соударение комков пластилина сопровождается неупругими деформациями и силами трения, то закон сохранения полной механической энергии к данной системе не применим. Часть начальной кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию , имеющую вид тепловой энергии и энергии неупругих деформаций.

Кроме того, молчаливо предполагается, что слипшийся кусок пластилина движется только поступательно, не обладая энергией вращательного движения. Эти обстоятельства необходимо учитывать при решении задачи.

С другой стороны, система является замкнутой, а это означает, что закон сохранения импульса имеет место.