Обсуждение результатов.

Сравнивая размерности правой и левой части формулы (25), убеждаемся, что они равны. Это вселяет надежду, что задача решена правильно. Разумеется, это необходимое, но не достаточное условие правильности решения задачи.

Для подтверждения правильности решения следует рассмотреть возможные предельные случаи. Например, если бы точка двигалась горизонтально с бесконечной скоростью, то её движение было бы прямолинейным и горизонтальным, то есть радиус кривизны равнялся бы бесконечности (центр окружности, проходящей через три точки, лежащие на одной прямой, находится в бесконечно удаленной точке). Этот же результат следует из (25).

Тот же результат можно получить, рассматривая предельный случай (движение материальной точки в глубоком космосе вдали от звезд и планет).

Динамика поступательного движения материальной точки.

Теоретическое введение.

1. Все тела обладают массой. Понятие массы – аксиоматично. Однозначного определения массы нет, её можно только определить через другие физические величины, которые сами требуют определения. В некоторых опытах масса имеет смысл характеристики инертных свойств тела. В других опытах проявляется её гравитационная природа (например, в астрономии, где господствует закон Всемирного тяготения Ньютона).

2. С инертными свойствами массы связаны три закона Ньютона. В настоящее время считается, что инертная и гравитационная массы равны.

3. Материальная точка обладает импульсом

кг м/с. (26)

4. Для описания взаимодействия тел вводят понятие силы. Сила связана с изменением импульса:

кг м/с² . (27)

5. Геометрическая сума всех сил, приложенных к материальной точке (сумма векторов сил) называется результирующей силой:

. (28)

6. Первый закон Ньютона: если на тело не действуют никакие силы, то тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

7. Второй закон Ньютона (три формы):

- (29)

- слева стоит приведение массы материальной точки на ускорение, справа – результирующая сила,

- (30)

- форма, удобная для определения закона движения ,

- (31)

- форма, позволяющая учесть зависимость массы от времени и пригодная для релятивистских условий.

8. Третий закон Ньютона. Силы, действующие между двумя произвольно выбранными материальными точками равны по величине и направлены в противоположные стороны вдоль соединяющей их прямой. Математическая формулировка: .

9. Сила сухого трения: , где - коэффициент сухого трения, - численное значение силы реакции опоры, - орт, указывающий направление движения. Сила сухого трения лежит в диапазоне .

11. Сила вязкого трения: , где – коэффициент вязкого трения.

Задача 6.

Два тела с массами и связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, вращающийся без трения. Коэффициент трения первого тела о горизонтальную поверхность . Определить ускорения тел, если в начальный момент они покоились. Рассмотреть два случая: 1) кг и кг, 2) кг и кг.

Анализ условия задачи.

Условие задачи подразумевает описание динамики прямолинейного движения двух связанных материальных точек. Первое тело испытывает действие силы сухого трения. Это означает (пункт 9), что в случае, когда сила натяжения прикрепленной к телу нити меньше силы сухого трения, система должна оставаться в состоянии покоя.

Решение.

Укажем силы, действующие в системе, введем оси координат удобным для нас образом (см. рис. 1).

Второй закон Ньютона для каждой из материальных точек можно записать в виде

, (32)

. (33)

В проекции на ось х (32) принимает вид

, (34)

в проекции на ось у (32) дает

. (35)

Уравнение (33) для второго тела имеет только проекцию на ось у и принимает вид

. (36)

Из (35) следует, что численное значение силы трения равно

. (37)

Система уравнений (34) и (36) содержит четыре неизвестные величины: . Этих уравнений недостаточно, чтобы решить задачу. Необходимо найти еще два уравнения. Их часто называют уравнениями связей.

Одно из дополнительных уравнений можно получить, если рассмотреть нить отдельно и применить к ней третий закон Ньютона. Тогда окажется, что к концам нити приложены силы и . Поскольку нить невесома, второй закон Ньютона для неё имеет вид (учитываем указанное выше свойство блока)

. (38)

Отсюда следует, что численные значения сил натяжения и, следовательно,

. (39)

Второе дополнительное уравнение получим, учтя нерастяжимость нити. Если второй грузик опустится на величину , то первый сместится на равную величину . Продифференцировав равенство по времени два раза, найдем,

. (40)

После этого система (34) и (36) принимает вид:

. (41)

Сложив эти уравнения почленно и разделив на полную массу, находим ускорение

. (42)

Обсуждение результатов.

Формула (42) даст искомый результат, если учесть, что направление движения первого грузика определяется ортом , а направление движения второго – ортом , то есть

. (43)

Кроме того, из (42) видно, что при достаточно малом значении массы ускорение а обращается в нуль или становится отрицательным. Это означает, что силы натяжения нити недостаточно, чтобы преодолеть силу трения и система остается в состоянии покоя (такое явление называется явлением механического застоя).

Задача 7.

На краю горизонтального диска радиусом м лежит маленькая шайба. В начальный момент диск начинает вращаться вокруг вертикальной оси с угловым ускорением рад/с². Через какое время шайба соскользнет с диска, если коэффициент трения шайбы о диск ?

Анализ условия задачи.

Изучается динамика вращательного движения материальной точки, на которую действует сила сухого трения, являющаяся, в данном случае, нормальной силой (см. формулу (19)).

Шайба будет покоиться, пока результирующая сила будет меньше силы трения. Рассматривая силы в проекции на радиус диска, можем записать это требование в виде

или как . (44)

Решение.

Воспользуемся стандартными формулами

. (45)

Учтем также, что при постоянном ускорении и нулевой начальной угловой скорости

. (46)

Тогда вторая формула (44) дает

. (47)

Отсюда следует, что

,

или, окончательно, момент соскальзывания

. (48)

Обсуждение результатов.

Результат (48) можно проверить, рассматривая очевидные предельные случаи. Так, если бы угловое ускорение было равно нулю или коэффициент трения был бесконечно большим, то время соскальзывания стремилось бы к бесконечности. Обратим также внимание на то, что в условии не указана величина массы шайбы – она не нужна, так как не входит в ответ. Проверить решение можно и по размерности. Легко убедиться в том, что правая часть равенства (48) имеет размерность времени.

Задача 8.

Автомобиль массой движется прямолинейно со скоростью . В момент на него начинает действовать тормозящая сила, линейно увеличивающаяся со временем, . Определить время, необходимое для полной остановки автомобиля и путь, пройденный за это время.

Анализ условия задачи.

Так как не сказано иное, то можно считать, что векторы скорости и тормозящей силы направлены вдоль одной оси (в разные стороны). Поэтому задача становится одномерной, то есть рассматриваемое движение – прямолинейно. Для решения задачи необходимо записать и решить уравнение движения, или уравнение второго закона Ньютона.

Решение.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление движения автомобиля

. (49)

Знак « – » появился потому, что на автомобиль действует тормозящая сила.

Пользуясь определением мгновенного ускорения (2), запишем:

. (50)

Проводя интегрирование, находим

. (51)

Константу определяем из начального условия, требуя, чтобы при скорость равнялась начальной скорости v₀ . Тогда окончательный вид мгновенной скорости

. (52)

Формула (52) позволяет определить время до остановки автомобиля. Поскольку

, (53)

то

. (54)

Для определения пройденного до остановки автомобиля пути S учтем, что мгновенная скорость (1) приводит к уравнению . Интегрируя, запишем

, (55)

что даст

. (56)

Пройденный путь равен . Подставляя сюда (56), получим

, (57)

или, учитывая (54),

. (58)

Обсуждение результатов.

Мы ищем перемещение автомобиля, а не закон его движения, поэтому определять константу интегрирования нет необходимости – она входит в формулу (57) дважды, с противоположными знаками.

Ответ легко проверить как по размерностям и , так и по предельным случаям. Например, устремляя к нулю или к бесконечности величины , когда решения задачи очевидно.

Задача 9.

Определите период вращения спутника Земли, находящегося на круговой орбите на расстоянии км от земной поверхности. Радиус Земли км. Ускорение свободного падения принять равным м/с² .

Анализ условия задачи.

Спутник летает по круговой орбите, испытывая действие силы тяжести и поэтому имея постоянное по величине ускорение свободного падения на данной высоте. Это нормальное ускорение (19).

Решение.

Из (19) следует, что численное значение скорости спутника на орбите равно

, (59)

и надо лишь правильно определить . Для этого учтем, что из закона Всемирного тяготения следует , где использованы величины ускорения свободного падения на поверхности Земли, гравитационная постоянная, масса Земли и её радиус. Массу Земли можно определить как . Тогда ускорение свободного падения на высоте Н равно

.

Если учесть, что длина круговой орбиты , то легко определить время, за которое спутник проходит всю орбиту. Это и есть период обращения:

. (60)

Обсуждение результатов.

Заметим, что задача идеализирована: добиться строго круговой орбиты – слишком сложная техническая проблема, чтобы стремиться к её осуществлению. Отличие орбиты от круговой означает непостоянство скорости и, значит, отличие расчетного периода от реального периода обращения.

Заметим также, что результат (60) дает численную оценку, близкую к времени одного оборота, совершенного как первым Советским спутником, так времени одного облета Земли Ю. Гагариным.

Задача 10.

Камень начинает падать с высоты над поверхностью Земли. Начальная скорость камня равна нулю. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, найти зависимость скорости от времени. Ускорение свободного падения считать постоянной величиной.

Анализ условия задачи.

Скорость падения зависит от формы камня. Плоский камень кувыркается, и часть потенциальной энергии переходит не только в энергию поступательного движения, но и в кинетическую энергию вращения (смотри ниже раздел о движении твердого тела). Поэтому подразумевается, что камень хорошо моделируется материальной точкой.

Утверждение, что сила сопротивления пропорциональна скорости, означает, что её можно записать в виде

. (61)

Решение.

Второй закон Ньютона для камня имеет вид

, (62)

положительное направление оси х , направлено вертикально вниз.

Уравнение (62), спроецированное на ось х , имеет вид

. (63)

Это дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции . Для его решения применяется специальный приём «замена переменной». В нашем случае неизвестная функция может быть заменена неизвестной функцией

, (64)

где А – неизвестная постоянная, которую мы выберем из соображений удобства.

Дифференцируя (64) по времени, получим

. (65)

Подставим (64) и (65) в уравнение (63). Найдем, что

. (66)

Теперь выберем А, наложив условие

. (67)

Тогда

. (68)

После такого выбора уравнение (66) можно привести к виду

. (69)

Дифференциальные уравнения вида (69) решают «методом разделения переменных». Из (69) следует, что

. (70)

Интегрируя (70), получим

. (71)

Учтем теперь, что в случае, когда , для любого значения справедливо равенство . Возьмем качестве основание натуральных логарифмов е , и воспользуемся равенством (71). Тогда (напомним, что )

. (72)

Воспользовавшись основным свойством логарифмов, получим

. (73)

Теперь можно вернуться к функции :

. (74)

Для определения неизвестной постоянной используем начальное условие для скорости. В условии задачи сказано, что в начальный момент падения (при t = 0) скорость камня равнялась нулю. Поэтому

. (75)

Следовательно,

(76)

и функция есть

. (77)