Введение

Наиболее сложной частью изучения физики в техническом университете является решение задач. При изучении классической механики требуется не только знание основ теории, но и свободное владение как ключевыми формулами, так и стандартными методами решения задач, проверки и анализа полученных решений. В соответствии с этим каждый раздел изучаемого материала будет предваряться минимально краткой теорией рассматриваемых явлений, затем формулировкой условия задачи, её анализом, подробным решением и обсуждением полученного ответа. В некоторых случаях анализ задачи и обсуждение результатов достаточно очевидны и будут опускаться. Кроме того, в реально предлагаемых на семинарах и экзаменах задачах обычно приводятся необходимые численные данные. Но в методических указаниях арифметические выкладки (за исключением редких случаев) не будут приводиться. Вместе с тем, при проверке знаний решение задачи не будет засчитываться, если студент не провел численные расчеты самостоятельно. При этом настоятельно рекомендуется до начала решения задачи перевести предлагаемые параметры в значения величин системы СИ. Это позволит избежать путаницы при получении окончательного ответа и сделает его правильное достижение более надежным.

Необходимость данных методических указаний определяется также тем, что лекционный материал, по сложившейся в Станкине практике, значительно отстает от требований к знаниям студентов на семинарских занятиях.

Кинематика поступательного движения материальной точки.

Теоретическое введение.

1. Материальная точка – это физическое тело, размеры которого малы по сравнению с размерами рассматриваемой системы, а форма тела не влияет на характер движения. Например, маленький клочок бумаги, падающий в аудитории, не является материальной точкой (он совершает сложное, невоспроизводимое движение), сферический бумажный комочек близок по своим свойствам к материальной точке.

2. В механике движение – это перемещение материальной точки в пространстве.

3. Движение может происходить как в трехмерном пространстве (общий случай), так в некоторой плоскости (двумерное или плоское движение), или вдоль прямой (одномерное движение).

4. Прямолинейное движение может характеризоваться средней и мгновенной скоростью. По определению, средняя скорость равна , где в числителе стоит пройденный за время путь. Скорость – грубая характеристика. Чаще используют предел средней скорости при . Такой предел называется первой производной пути по времени и обозначается как

. (1)

Точка над функцией времени х(t) означает производную по времени. По определению, предел (1) называют мгновенной скоростью.

5. Если скорость не зависит от времени, то движение называется равномерным. Неравномерное движение характеризуется ускорением.

6. По определению, мгновенным ускорением при прямолинейном движении называют первую производную по времени от мгновенной скорости, или вторую производную по времени от перемещения:

. (2)

7. При движении в трехмерном пространстве вводят понятие закона движения , где функция времени – это радиус-вектор той точки, где находится тело в момент вре6мени t. В декартовой системе координат , входящие в правую часть равенства векторы называются ортами или единичными векторами вдоль осей x, y, z .

8. В трехмерном пространстве вводят понятие вектора мгновенной скорости

(3)

и понятие вектора мгновенного ускорения

. (4)

9. Пример производной: пусть , где n – любое число. Тогда .

10. Кроме дифференцирования необходимо знать обратную операцию, называемую неопределенным интегрированием. Введем вначале понятие первообразной. Первообразной называется функция , . Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от функции : , где включена постоянная интегрирования.

11. Пример: , если n – целое число, отличное от – 1. Если n = – 1 , то интеграл равен (логарифм по натуральному основанию).

12. Понятие о начальных условиях. При определении закона движения путем неопределенного интегрирования появляются неопределенные константы интегрирования. Их определение требует некоторых дополнительных условий. Например, указания скорости и положения материальной точки в начальный момент времени, .

Задача 1.

Пусть закон движения материальной точки имеет вид м. Найти мгновенную скорость и мгновенное ускорение, а так же определить характер движения точки в проекции на ось у.

Анализ условия задачи.

Происходит заданное трехмерное движение материальной точки. Её скорость и ускорение мы найдем, используя приведенные выше определения (3) и (4) этих величин. Кроме того, нужно воспользоваться некоторыми очевидными свойствами производных.

Решение.

Мгновенная скорость

. (5)

Уже здесь мы воспользовались возможностью вынести постоянную величину ( -1) из под знака производной. Это же можно сделать с множителями и , если система не поворачивается, и орты не зависят от времени. Учтем далее, что производная постоянной величины (здесь – производная от орта ) равна нулю. Тогда

. (6)

Мгновенное ускорение

. (7)

Обсуждение результатов.

Полученные результаты показывают, что движения вдоль оси х не происходит, вдоль оси у точка движется равномерно со скоростью 2 м/с (в системе СИ), а вдоль оси z она движется со скоростью -3t² м/с , то есть в отрицательном направлении и с переменным ускорением м/с².

Задача 2.

Ускорение материальной точки равно м/с². Найти зависимость мгновенной скорости точки от времени и её закон движения. Считать, что в момент времени материальная точка имела координаты м и скорость м/с.

Анализ условия задачи.

В условии задано переменное во времени ускорение при трехмерном движении материальной точки. Заданы также начальные координаты и начальные скорости, то есть определены начальные условия. Их можно записать иначе, чем в условии задачи: м, м/с. Задание ускорения и начальных условий означает, что двукратным интегрированием по времени можно определить требуемые функции.

Решение.

Согласно определению (2) и условию задачи

. (8)

Умножим это равенство на и проведем неопределенное интегрирование

. (9)

Если использовать сведения о неопределенном интегрировании, указанные выше, получим:

. (10)

Для определения произвольной постоянной интегрирования воспользуемся вторым начальным условием. Тогда . Следовательно, однозначно определенная мгновенная скорость равна

м/с. (11)

Воспользуемся теперь определением мгновенной скорости (1). Получим

,

или, домножая на и проводя неопределенное интегрирование,

м. (12)

вновь пользуясь начальным условием (на этот раз – первым), найдем , что определяет окончательный вид закона движения:

м. (13)