Строгого определения множества, мне кажется, не существует, и тем не менее, на интуитивном уровне понятно, что это такое.

«Говорим, что есть некоторое множество, если есть высказывание относительно свойств некоторых объектов».

Элемент есть элемент множества, если его свойства удовлетворяют высказыванию, описывающему множество.

Далее Давтян попытался рассказать нам немного о булевой алгебре, но его введение, на мой взгляд, было лишним. Хотя, вот оно:

«Пусть в каком-то языке существует множество предложений. Каждому предложению (будем называть их высказываниями) поставим в соответствие его значение: ложь или истина. Для этих значений введем обозначения: ложь – 0, истина – 1. Далее мы эти высказывания можем всевозможными способами соединять (важно, что ложные высказывания нам не интересны, т.к. наша задача строить истинные рассуждения). Получается какая-то «речь».»

Пусть a и b – высказывания.

a	b
		a и b	a или b	если a, то b	a эквивалентно b	не a
0	0	0	0	1	1	1
0	1	1	0	1	0	1
1	0	1	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	0

Тавтологией называется тождественно истинное высказывание, инвариантное относительно значений своих компонентов.

Кроме этих операторов Давтян упомянул еще о стрелке Пирса и штрихе Шеффера. Суть этих операторов состоит в том, что через них можно выразить любые другие логические операции. Вот их таблицы истинности:

a	b
		стрелка Пирса	штрих Шеффера
0	0	1	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	0	0

Очевидно, они работают по одному принципу.

Еще он дал несколько важных формул:

- это пример тавтологии.

Отрицанием обеих частей и заменой переменных на противоположные по значению получаем следующее:

Импликация:

Дистрибутивность операций «и» и «или» (конъюнкции и дизъюнкции):

И отрицание импликации равно следующему:

Предикат – это высказывание, в которое входит хотя бы одна переменная.

Давтян:

«Предикат – это высказывание, в которое входит хотя бы одна буква, которая может быть заменена на какой-либо «объект», то есть принимать значения. Предикат, в котором каждая буква уже заменена на объект, становится высказыванием».

Собственно, он объяснил, как мы будем понимать «переменную».

Интерпретация предиката – ?

Я не нашел определения, но понимаю это так.

Предикат, в котором всем переменным присвоены конкретные значения, становится высказыванием. И это высказывание называется интерпретацией предиката.

Кванторы.

Квантор общности (или всеобщности) – т.е. «для любого».

Квантор существования – т.е. «существует такой элемент».

Квантор+предикат =высказывание.

Связь кванторов:

,

где – предикат с переменной .

Объединение и пересечение множеств:

Операции объединения и пересечения дистрибутивны по отношению друг к другу.

Формулы дополнительности:

Декартово произведение множеств.

А и В – любые множества. Составим пару , где . Все такие пары – это и есть (декартово произведение А и В).

Бинарные отношения.

Говорят, что на множестве А задано бинарное отношение R, если задано подмножество . Это бинарное отношение является множеством упорядоченных пар элементов (строгое определение упорядоченных пар элементов не проливает света на эту картину, хотя интуитивно понятно, что это такое, но лучше этим понятием не злоупотреблять).

Бинарное отношение R может быть задано на двух множествах: А и В. Это эквивалентно тому, что задано подмножество .

Бинарные отношения могут обладать различными свойствами. Вот некоторые из них:

1. Если R рефлексивно, то:

2. Если R антирефлексивно, то:

3. Если R симметрично, то:

4. Если R антисимметрично, то:

5. Если R транзитивно, то:

Если бинарное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.

Если бинарное отношение рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, то оно называется отношением порядка (или отношением частичного порядка).

Если бинарное отношение антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно, то оно называется отношением строгого порядка.

Все эти отношения могут обладать и любыми другими свойствами. Например, отношение эквивалентности может быть еще и антисимметричным. Тогда оно будет одновременно являться отношением эквивалентности и отношением порядка.

Далее Давтян как-то… кратко ввел понятия «сравним» и «похож», которые я не понял.

Понятие функции, или функциональное бинарное отношение.

Бинарное отношение R называется функциональным, если

Очевидно, что если бинарное отношение R функционально, то либо , либо множество содержит единственный элемент.

называется значением а при отображении R.

Согласно словам Давтяна, знаком R(ρ) обозначается область значения функционального бинарного отношения ρ, а D(ρ) обозначает область определения функционального бинарного отношения ρ. но также я встретил другие обозначения:

Im R – область значения R

Dom R – область определения R

Мы понимаем функциональное бинарное отношение как множество упорядоченных пар. Множество первых элементов всех этих пар – это область определения, а множество вторых – область значения.

– двухместный предикат, где а – аргумент функции, а b – значение функции.

Композиция бинарных отношений.

Пусть .

Тогда существует бинарное отношение (композиция R и P), которое определяется так:

Исходя из этого определения можно доказать следующее утверждение (его нам предложил доказать Давтян в качестве упражнения). Не знаю, как лучше всего его сформулировать, но я бы использовал такую формулировку: «если имеет смысл, где R, P и Q – бинарные отношения, то »

Доказательство:

Предположим, одна из этих композиций не является пустым множеством (если обе композиции – пустые множества, то они равны). Возможны два случая: «первая композиция – не пустое множество», и «вторая композиция – не пустое множество». Для этих случаев доказательства будут различаться.

Случай 1.

Пусть . Тогда

согласно определению композиции.

согласно определению композиции.

по определению композиции

Пусть . Тогда

Случай 2.

Пусть . Тогда

согласно определению композиции.

согласно определению композиции.

по определению композиции

Пусть . Тогда ,

!!! называется бинарное отношение, такое, что

Бинарное отношение Е называется единичным, если

Очевидно, что , если Е – единичное отношение, а R – любое другое отношение, заданное на том же множестве, что и Е.

На каждом множестве существует множество бинарных отношений, а на множестве этих бинарных отношений существует множество композиций этих отношений.

Бинарные операции.

Бинарной операцией F, заданной на множестве М называется бинарное отношение F, заданное на множестве , где , а .

Бинарная операция F, заданная на множестве М, может обладать свойствами:

1. Коммутативность:

2. Ассоциативность:

Если бинарная операция F, заданная на множестве М, ассоциативна, то М – полугруппа по F (или моноид по F).

Единицей полугруппы М по операции F называется элемент е такой, что .

Единица полугруппы М по операции F является нейтральным элементом полугруппы М по операции F.

Единственность единицы.

Пусть в полугруппе М по операции F есть единицы и . Тогда, по определению единицы полугруппы, верно равенство . Следовательно, единица единственна.

Если для элемента полугруппы М по операции F с единицей е в полугруппе М есть элемент , такой, что , то элемент имеет обратный элемент по операции F.

Полугруппа М по операции F называется группой, если каждый элемент множества М имеет обратный по операции F.

Множество М с заданными на нем операциями и , называемыми сложением и умножением, называется кольцом, если для него выполнены следующие условия:

1. Ассоциативность сложения

2. Коммутативность сложения

3. Наличие нейтрального элемента по отношению к сложению

4. Наличие обратного элемента по отношению к сложению для каждого элемента М

5. Ассоциативность умножения

6. Дистрибутивность умножения по отношению к сложению, т.е.

Кольцо называется коммутативным кольцом, если умножение в нем коммутативно.

Если в кольце М отсутствуют делители нуля (т.е. если произведение каких-то двух элементов множества равно нулю, то хотя бы один из этих элементов равен нулю), то кольцо называется целостным кольцом.

Множество М с заданными на нем операциями и , называемыми сложением и умножением, называется полукольцом, если для него выполнены следующие условия:

1. Ассоциативность сложения

2. Коммутативность сложения

3. Наличие нейтрального элемента по отношению к сложению

4. Ассоциативность умножения

5. Дистрибутивность умножения по отношению к сложению

6. Мультипликативное свойство нуля (т.е. )

Множество А называется подкольцом М, если А является кольцом относительно операций, определенных в М.

Телом называется ассоциативное кольцо, в котором:

1. Присутствует единица относительно умножения, не равная единице относительно сложения

2. У каждого элемента кольца кроме единицы по сложению есть обратный элемент по умножению.

Коммутативное тело называется полем.

Классом эквивалентности элементу а по отношению эквивалентности С называется подмножество , , если .