2. Решение задач на применение свойств делимости

Пример 1. Может ли натуральное число, имеющее 2000 делителей, быть полным квадратом?

Решение: Число n с каноническим разложением n= является полным квадратом, если все показатели четны =2 . Количество делителей данного числа можно найти по формуле +1)…( . Так, число делителей числа 496= равно (4+1)(1+1)=10. Поскольку все скобки в этом произведении нечетны, квадрат не может иметь 2000 делителей.

Ответ: такое число не может быть полным квадратом.

Определите, на какие натуральные числа может сокращаться дробь при целых х.

Решение: Пусть d – общий делитель числителя и знаменателя, тогда

Для некоторых целых чисел K,l. Исключим x из этих уравнений:

→d(51-3k)=23→d – делитель 23, а т.к. 23 – простое число, то d=23.

Ответ: на 23.

Пример 2. Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, такие, что после зачеркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная запись числа, являющегося степенью двойки.

Решение: Из первых степеней двойки: 2,4,8,16,32,64,128,… числа 32 и 64 удовлетворяют условию задачи.

Зачеркнуть цифру 3 числа 32, значит, из числа 32 вычесть 3*10, т.е. 32 – 3*10 = 2 , откуда получим 2

Зачеркнуть цифру 6 числа 64, значит, из числа 64 вычесть 6*10, т.е. 64 - 6*10=4, откуда получим

Таким образом, для искомой степени двойки должно выполняться равенство

(1)

где k – количество цифр в десятичной записи искомой степени двойки после зачеркнутой цифры p.

В правой части равенства (1) содержатся множители 5, в левой части того же равенства они могут содержаться только в числе ( при условии n=4r, r – натуральное число ).

Утверждение «число , r – натуральное число, делится на 5» докажем методом математической индукции.

При r = 1число = 15 делится на 5.

Предположим, что при r=q утверждение верно, т.е. число делится на 5, докажем, что тогда делится на 5. Число

Делится на 5, так как делится на 5 по сделанному предположению, а 15 делится на 5.

Но тогда согласно принципу математической индукции число , r – натуральное число, делится на 5.

Из доказанного следует, что числа

- не делятся на 5.

Из доказанного следует, что числа Именно для этого случая мы получили два числа 32 и 64.

При r > 1 имеем =

Ни одного из чисел или не делится на 2. Если одно из них делится на 5, то второе не делится на 5, так как их разность 2 не делится на 5. Тогда это второе число не делится ни на 2, ни на 5 и оно больше 15, т.е. больше числа p. Поэтому равенство

невозможно ни при каких условиях m и k.

Это означает, что условию задачи удовлетворяют лишь два числа 32 и 64.

Ответ:32,64.

Пример 3.Найдите все пары пятизначных чисел x, y, такие что число xy, полученное приписыванием десятичной записи числа y после десятичной записи числа x, делится на xy.

Решение: По условию задачи число xy= x+y делится на xy, т.е.верно равенство

x+y=pxy, (1)

где p – натуральное число.

Перепишем равенство (1) в виде

x=(px-1)y.

Так как px-1 не делится на х, то у не делится на х, то есть у=qx, где q – натуральное число, меньшее 10 ( в противном случае у не пятизначное число).

Заменив в равенстве (1) у на qx и разделив полученное равенство на х, имеем:

Так как то делится на q. Число имеет делители, меньшие 10: 1, 2, 4, 5, 8. Рассмотрим случаи q=1, q=2, q=4, q=5, q=8.

1. Если q=1, то равенство (3) имеет вид px=100001. Первыми делителями числа 100001 являются 1 и 11, но при p=1 и при p ≥ 11 число x не пятизначное.

2. Если q=2, то y=2x. Перепишем равенство (3) в виде px=50001. Первыми делителями числа 50001 являются числа 1,3 и 7.

При p=1 имеем: х=50001, у=100002, число у не пятизначное.

При р=3 имеем: х=16667, у=2*16667=33334.

При р ≥ 7 число х не пятизначное.

Итак, числа х=16667, y=33334 удовлетворяют условиям задачи.

3. Если q=4, то у=4х. Перепишем равенство (3) в виде рх=25001. Первыми делителями числа 25001 являются числа 1и 23.

При p=1 имеем: х=25001, у=100004, число у не пятизначное.

При p ≥ 23 число х не пятизначное.

4. Если q=5, то у=5х. И из равенства (3) следует, что рх=20001.

При р=1 имеем: х=25001, у=100005, число у не пятизначное.

При р > 1 число х не пятизначное.

5. Если q=8, то у=8х. Перепишем равенство (3) в виде рх=12501.

При р=1 имеем: х=12501, у=100008, число у не пятизначное.

При р > 8 число х не пятизначное.

Итак, в случаях 1), 3) – 5) не существует чисел х и у, удовлетворяющих условию задачи. Задача имеет единственное решение: х=16667, у=33334.

Ответ: х=16667, у=3334.

Пример 4. Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенными между числами 96/35 и 97/36 найдите такую, знаменатель которой минимален.

Решение. Сначала приведем дроби к общему знаменателю:

96/35=(96*35)/(35*36)=3456/1260;

97/36=(97*35)/(36*35)=3395/1260.

Теперь будем искать дробь с тем же знаменателем, числитель а которой – натуральное число от 3396 до 3455 – делится на наибольшее возможное произведение, составленной из делителей знаменателя.

Так как 2*1260 < 3396, а 6*630 > 3456, то сокращение искомой дроби не приводит к знаменателю 2.

Аналогично убеждаемся, что сокращение искомой дроби не приводит к знаменателям 3, 4, 5, 6. А так как 1260=7*180 и 3396 < 180*19 < 3456, то искомую дробь 180*19/1260 можно сократить на 180, при этом получится наименьший возможный положительный знаменатель 7.

Второй способ решения. Найдем искомую дробь так:

97/36=2 25/36<2 25/35=2 5/7; 96/35=2 26/35. Так как 2 25/35 < 2 26/35, то 97/36 < 19/7 < 96/35.

Так как 2 < 2 25/36 < 2 26/35 < 3, то дроби со знаменателям 1 (то есть натурального числа) в указанном промежутке нет. Так как

,

То дроби со знаменателями, меньшими 7 в указанном промежутке нет.

Ответ: 19/7.

Пример 5. Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое их этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?

Решение. Искомое произведение – четное, поскольку оно делится на каждый простой сомножитель, уменьшенный на 1. Следовательно, один из простых сомножителей – число 2.

Последующие сомножители получим, увеличивая на 1первый сомножитель, а затем – произведение сомножителей, найденных ранее:

1806+1=1807.

Поскольку число 1807 составное (1807=139*13), то цепочка сомножителей завершается числом 43.

Итак, произведение, отвечающее условию, может быть равно 6, 42 или 1806.

Ответ: 6, 42, 1806.

Пример 6. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

Решение. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, делятся на11.

Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5. Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, становится равной 11. Меняя местами, например,4 и 7, или 3 и 6, получаем требуемые примеры. Примечание. В задаче не требуется нахождение всех чисел, обладающих указанным свойством. Ответ: Да.

Пример 7. Докажите, что число делится на 14 при любом числе n.

Решение: По формуле …+

= …+

Третье слагаемое запишем как степень шести: 6* Применим к третьему и четвертому слагаемым формулу …-

…- .

Так как ) и оба слагаемых делятся на 7, по первому свойству, число z делится на 7. Кроме того, z четно, поскольку четными являются числа +1, .

Итак, число z делится на 14.

Пример 8. При каких натуральных значениях n число является простым?

Решение: Чтобы разложить данное выражение на множители, можно разбить 3 на 2 и 1 и затем сгруппировать слагаемые (это не единственный способ, вместо этого можно найти корни данного трехчлена по формуле или выделить полный квадрат): . Для того, чтобы это выражение имело простое значение, нужно, чтобы одна скобка равнялась 1, в это время как вторая была простым членом.

Если n+1=1, то n=0, но 0 не является натуральным числом. Если 2n-3=1, 2n=3+1, 2n=4, n=2. При этом n+1=3 – простое число.

Ответ: n =2.

Пример 9. Может ли число быть простым при каких-либо целых n?

Решение: Дополним выражение до квадрата суммы:

Для простоты необходимо, чтобы один из сомножителей равнялся 1,а второй был простым членом, однако уравнения не имеют решений.

Ответ: число составное при любом целом значении n.

Пример 10. Доказать, что число делится на 14 при любом натуральном значение числа n.

Решение: = …+ делится на 7.

Третье слагаемое запишем как степень шести: 6*

…- .

Так как ) и обе скобки делятся на 7, то z делится на 7. Кроме того, числа +1, четные, поэтому z делится на 2.

Пример 11. Разложите на множители число 42780.

Решение: Очевидно, что данное число делится на 3, 4= и 5. Следовательно, 42780= *3*5*713. Для отыскивания делителей 713 применим метод Ферма:

713+1=714, 713+1+3=717, 713+1+3+5=722, 713+1+3+5+7=729= .

Отсюда 713= - =(27-4)(27+4)=23*31.

Ответ: 42780= 42780= *3*5*23*31.

Пример 12. Найдите все делители числа 496 и сумму его собственных делителей.

Решение: 496=8*62= каноническое разложение этого числа на простые множители. Находим делители: 1,2, =4, =8, =16 и 31, 2*31=62,4*31=124,8*31=248 и само число 496. Теперь сложим найденные числа: 1+2+4+8+16+31+2*31+4*31+8*31= (для удобства подсчета сгруппируем слагаемые) =(1+31)+(2+2*31)+(4+4*31)+(8+8*31)=32*(1+2+4+8)+16=16*(1+2+4+8+16)=16*31=496.