Глава 6 Теория линейных операторов

§ 6.1 Линейные операторы в конечномерных пространствах

Определение 1. Линейным оператором , действующим в векторном пространстве над числовым полем К (или линейным преобразованием векторного пространства над числовым полем К), называется правило, по которому каждому вектору ставится в соответствие определенный вектор : , причем для любых векторов и любого числа из поля К выполняются равенства:

(аддитивное свойство);

(свойство однородности).

При этом используют следующую терминологию: вектор называют образом вектора при данном линейном преобразовании (или результатом действия оператора на вектор ), вектор называют прообразом вектора .

Фактически линейный оператор можно рассматривать, как векторную функцию, т.е. функцию, заданную на векторном пространстве . Механизмом, реализующим действие линейного оператора , является его матричное представление.

Пусть в векторном пространстве фиксирован некоторый базис . Тогда , где , - разложение произвольного вектора по базису Е. Рассмотрим действие оператора к векторам .

Разложение вектора по базису имеет вид:

f₁= ,

f₂= , (1)

. . . . . . . . . . . .

f_n= .

Матрицу называют матрицей оператора в базисе Е или матрица линейного преобразования в базисе Е и обозначают А_е.

Равенство (1) переводит векторы Е, составляющие базис пространства, в систему векторов F, причем полученные вектора остаются в исходном базисе Е. Эту операцию можно записать в матричном виде

или ,

где = F - матрица-строка, состоящая из образов базисных векторов E.

Рассмотрим основные операторы и их матричные аналоги:

1. Оператор , действующий по правилу для любого элемента  ,

называется нулевым оператором и ему соответствует нулевая матрица.

2. Оператор , действующий по правилу  , называется тождественным (единичным) оператором и ему соответствует единичная матрица.

3. Оператор называется обратным к оператору , если и ему соответствует обратная к А матрица, обозначаемая А^-1.

4. Суммой = линейных операторов и называют оператор такой, что

и оператору С соответствует сумма матриц А + В.

5. Произведением = линейных операторов и называется оператор ,

которому соответствует произведение матриц А,В: .

6. Операторы и называются равными, если равны их матрицы А и В.

Для линейных операторов выполняются все свойства, свойственные матрицам, т.е. линейные операторы образуют линейное пространство.

Теорема. Если переход от базиса к базису , осуществляется по формуле , где - матрица перехода между базисами (или матрица пересечения базисов), то матрица оператора преобразуется по формуле:

или (2).

Замечание. Теорема имеет наглядный геометрический смысл: рассмотрим двумерную

декартовскую систему с двумя базисами

Y_f

X_e A_e

P_ef

Y_e

Система с базисом е Система с базисом f

последовательность действий: А_eX_e = Y_e,P_ef(Y_e)= Y_f или P_ef(A_e)=Y_f

X_f

X_e A_f

P_ef Y_f

Система с базисом е Система с базисом f

или P_efX_e = X_f, А_fX_f = Y_f или А_f(P_ef) = Y_f и приравнивая левые части получим: P_efA_e = А_fP_ef или и .

Найти матрицу преобразования в базисах E, F при обратном переходе от базису к базису .

Пример.

1. Задан оператор _е с матрицей и матрица перехода от

базиса к базису . Вычислить матрицу оператора и найти

образ вектора в базисе двумя способами.

Решение. Находим матрицу, обратную к Р: . Находим матрицу оператора : = . Тогда = = и Р_ef( )= = .

С другой стороны, Р_ef( = = и = .