Модуль 2

Практичне заняття 6

Індекси за простим модулем.

Двочленні конгруенції за простим модулем.

Арифметичні застосування теорії конгруенцій

Основні теоретичні відомості

Порядок числа і класу лишків за модулем. Первісні корені,

існування їх та кількість за простим модулем

Нехай , і . Порядком числа а за модулем називається таке найменше натуральне число , що . Число позначають ще як і називають показником, до якого належить число за модулем . Оскільки за теоремою Ейлера , то число завжди існує і . Якщо , то число називають первісним коренем за модулем .

Якщо , то . Ця властивість дає змогу казати про порядок класу лишків, а саме: клас лишків має порядок за модулем . якщо порядок його представника за цим самим модулем дорівнює .

Якщо , то клас лишків називається класом первісних коренів за модулем .

Якщо , то числа попарно не конгруентні між собою за модулем .

Якщо — первісний корінь за модулем , тобто , то числа утворюють зведену систему лишків за модулем .

Якщо , то тоді і тільки тоді, коли . Зокрема, тоді і тільки тоді, коли .

Якщо і , то

Якщо , то .

Якщо , то .

Якщо , то .

Якщо - попарно взаємно прості числа, то . тоді і тільки тоді, коли .

Якщо , то класи лишків є різними розв'яз­ками конгруенції .

Якщо — просте число, то зазначені класи лишків вичерпують усі розв'язки даної конгруенції.

За простим модулем кожен дільник числа є порядком для класів лишків. Зокрема, існує класів первісних коренів (теорема Гаусса).

Якщо первісний корінь за простим модулем , то інші первісні корені містяться серед степенів і мають вигляд , де і .

Якщо — канонічний розклад числа , то число тоді і тільки тоді є первісним коренем за простим модулем , коли

для всіх .

Первісні корені існують тільки за модулями ; і , де - просте непарне число, а .

Нехай —первісний корінь за простим модулем . Тоді можна знайти таке число , що число , яке визначається з умови

,

не ділиться на . Відповідне число є первісним коренем за модулем при будь-якому .

Нехай і — первісний корінь за модулем . Непарне з чисел і є також первісним коренем за модулем .

Якщо і - різні прості дільники числа , то число , взаємно просте з , тоді і тільки тоді є первісним коренем за модулем ; коли

для всіх .

Індекси за простим модулем. Двочленні конгруенції за простим модулем; таблиці індексів і застосування їх.

Нехай - первісний корінь за простим модулем , і . Ціле невід’ємне число називається індексом за модулем при основі , якщо

(1)

Взагалі, довільне значення , яке задовольняє конгруенцію

, (2)

називається індексом числа за модулем при основі і позначається

. (3)

При цьому може бути й складним числом , проте

.

Означення індексу можна записати ще так:

. (4)

Користуючись цим означенням, складають таблицю Індексів за даною основою і модулем. Таблиці індексів за кожним простим модулем (не дуже великим) містять дві таблиці: одна — знаходження індексу за числом, а друга — знаходження числа за індексом (таблиця анти індексів).

Основні властивості індексів

1°. Усі індекси числа за простим модулем утворюють клас чисел за модулем . Точніше, якщо і — індекси числа за модулем (при будь-якій тій самій основі), то

.

2°. Для того щоб , необхідно і достатньо, щоб

.

Якщо значення чисел або індексів виходять за межі таблиць, то ці дві властивості дають змогу переходити до найменших невід'ємних лишків: для чисел — за модулем , для індексів — за модулем ;

3°. ;

4°. ;

5°. ;

6°. ;

7°. Якщо , то .

Зазначимо, що перехід від конгруенції між числами до конгруенції їхніх індексів називається індексацією, а зворотний перехід –потенціюванням. Якщо задано двочленну конгруенцію

го степеня за простим модулем

, , (5)

то її розв'язок знаходять з конгруенції

(6)

Арифметичні застосування теорії конгруенцій

Теорія конгруенцій має ряд арифметичних застосувань. Основними з них є:

1) виведення ознак подільності;

2) обчислення остач при діленні;

3) перевірка результатів арифметичних дій;

4) визначення довжини періоду при перетворенні звичайного дробу в десятковий.

Нехай в -й системі числення число має вигляд

Позначимо через абсолютно найменші лишки числа за модулем , тобто , і . Тоді , де (ознака подільності Паскаля).

З конгруенції випливає, що при діленні на т числа і дають однакові остачі. Зокрема, число ділиться на тоді і тільки тоді, коли на ділиться . Покладаючи , , дістаємо конкретні ознаки подільності. З метою обчислення остач від ділення, крім ознаки Паскаля, використовують також теореми Ейлера і Ферма, властивості індексів тощо.

Якщо

(1)

де — многочлен від цілих чисел з цілими коефіцієнтами, то виконується конгруенція

(2)

де —будь-яке натуральне число, — остача від ділення на , . Конгруенція (2) є умова, необхідна для рівності (1), але не достатня. Інакше кажучи, якщо (2) не виконується, то не виконується й (1); якщо (2) виконується, наприклад, для або , то напевно помилки в обчисленнях (1) не виявлено. Так, виконуючи перевірку для , помилку не виявили, оскільки: 1) не було взято до уваги нуль у доданку або множнику; 2) в результаті цифри записані не в тому порядку; 3) неповні добутки перебувають не на своїх місцях; 4) взагалі, помилка становить число, кратне 9. Під час складних обчислень доцільно робити дві перевірки: одну за модулем 9, а другу — за модулем 11.

Нескоротний дріб виду , де , і , у скінчений

десятковий дріб не перетворюється.

Якщо — нескоротний дріб і , то цей дріб перетворюється у чистий періодичний десятковий дріб. При цьому число цифр у періоді дорівнює порядку числа 10 за модулем .

Якщо — нескоротний дріб і , де , то цей дріб перетворюється в мішаний періодичний десятковий дріб. При цьому число цифр у періоді дорівнює , де — більше з чисел і ; число цифр у періоді дорівнює порядку числа 10 за модулем .