4. Побудова початкового базисного плану. Метод штучної бази. М-метод.

Побудова початкового базисного розв’язку.

1. Розглянемо задачу лінійного програмування:

В кожному з непрямих обмежень стоїть “ ”. Задача легко зводиться до канонічної задачі, шляхом введення в розгляд нових змінних . Тоді отримаємо нові вектори . Отже, наша задача набуде вигляду:

2. Розглянемо задачу лінійного програмування:

В кожному з непрямих обмежень стоїть “ ”. Задача зводиться до канонічної задачі, шляхом введення в розгляд нових змінних . Тоді . Отже, наша задача набуде вигляду:

Отриману задачу можна канонізувати, наприклад, таким чином: , де l-те рівняння переписуємо без зміни, а i-те рівняння ( )замінюємо різницею між l-тим та i-тим рівнянням

Задача майже канонізується (не вистачає l-го стовпчика, що відповідає у_l). Пробуємо ввести в число базисних змінних змінну х_к, таку що , в k-ому стовпчику робимо нулі крім l-ого місця. Навіть якщо існує таке k, що , система може не канонізуватися, бо при виключенні із рівнянь деякі праві частини можуть стати від’ємними. Отже, потрібно додати ще таку умову: . В іншому випадку канонізувати не можна.

2.1. Метод штучної бази – це універсальний метод, який застосовується до стандартної задачі лінійного програмування:

Для розв’язання даної задачі розглянемо нову задачу лінійного програмування (допоміжну):

При розв’язанні такої задачі маємо, що . Функція яка мінімізується – обмежена знизу.

Маємо такі випадки:

1. 

2. 

де – оптимальний план допоміжної задачі.

Теорема. Якщо , то – опорний план (базисний розв’язок). Якщо хоча б одна із компонент відмінна від нуля, наприклад , то множина допустимих значень в початковій задачі порожня, тобто не існує розв’язків.

Недолік методу штучної бази в тому, що для знаходження базисного плану задачі потрібно повністю розв’язати нову задачу.

2.2. М-метод побудови базисного плану. Розглянемо разом із задачею лінійного програмування допоміжну задачу (М-задачу):

умова є неістотною.

В цій задачі число М – невід’ємне і достатньо велике, більше ніж будь-які числа, які будуть зустрічатися в даній задачі.

Теорема. Якщо оптимальний розв’язок М-задачі має вигляд: , то є оптимальним розв’язком початкової задачі.

Наслідок. 1. Якщо в оптимальному розв’язку М-задачі хоча б одна компонента , то множина допустимих планів початкової задачі порожня.

2. Якщо допоміжна задача не має розв’язку, в тому розумінні, що , то початкова задача теж не має розв’язку, в тому розумінні, що .

Приклад. Нехай задано деяку задачу лінійного програмування:

Допоміжна М-задача буде мати вигляд:

Ця задача тепер в канонічній формі, тому можна розв’язати її за допомогою симплекс-методу. Побудуємо симплекс-таблицю.

№ ітерації	базисні змінні		1	-3	2	М	М			Примітки
0		М	1	2	3	1	0	4	4/3	– ввести – вивести
		М	-1	-4	10	0	1	7	7/10
		11М	1	-3+2М	2-13М	0	0
1		М	13/10	32/10	0	1	-3/10	19/10	19/32	– ввести – вивести
		2	-1/10	-4/10	1	0	1/10	7/10	-
					0	0
2		-3	13/32	1	0	10/32	-3/32	19/32
		2	2/32	0	1	4/32	2/32	30/32
		3/32	7/32	0	0

Всі відносні оцінки невід’ємні. Отже, знайдений розв’язок є оптимальним. . Оскільки введені, допоміжні, змінні рівні нулю, то оптимальний розв’язок заданої (початкової) задачі буде: .