22
Кинетическая энергия системы и её связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе
При действии на движущееся тело постоянной по величине и сов-падающей по направлению с направлением движения силы, тело либо приобретает определенный запас энергии, либо совершает работу.
Физическая величина, характеризующая способность движуще-гося тела или системы совершать работу при торможении до полной остановки, называется кинетической энергией. Кинетическая энер-гия - энергия, которой обладает движущееся тело.
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий отдельных тел (материальных точек) этой системы:
Wk = ΣWki, (7.25)
где Wki - кинетическая энергия i-го тела системы.
Изменение кинетической энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое происходит под действием приложенных к системе внешних и внутренних сил и равно сумме работ этих сил:
ΔWk = Wk2 – Wk1 = ΣAiвнут + ΣAiвн. (7.26)
Уравнение (7.26) выражает теорему об изменении кинетической энергии, с помощью которой решаются многие задачи динамики.
Изменение
кинетической энергии системы равно
сумме измене-ний кинетических энергий
отдельных тел (материальных точек)
сис-темы: d
=∑
d
Для вывода формулы кинетической энергии системы необходи-мо рассчитать работу, которая может быть совершена системой при ее торможении до полной остановки. Предположим, что система (твердое тело) состоит из n тел (материальных точек). При поступа-тельном движении твердого тела со скоростью v каждая его матери-альная точка (элемент тела) движется с такой же скоростью.
Элементарная работа сил трения при торможении, действующих на i-ю материальную точку, равна элементарному изменению кине-тической энергии этой точки:dAi=dWi=Fi*dr =dpi/dt*dr=dpi*dr/dt=dpi*v=d(mi*v) *v=mi*v *dv
Изменение кинетической энергии материальной точки тела при переходе из одного состояния в другое имеет следующий вид:
2vmdvvmWWAW21i0vi1kkk12i−=⋅=−==Δ∫. 2vmW21i1k=. (7.29)
Так как материальная точка и состояние тела были выбраны произвольно, то кинетическая энергия i-й материальной точки до на-чала торможения была следующей:
. (7.30)
Рис.7.2
Это справедливо и в том случае, когда тело перемещается из точки в точку (рис.7.2). При этом совершается работа A под действием силы B. Указанную работу можно представить следующим образом:
k2122CBCBCBCBW2vm2vmvdvmdsdtvdmdsmadsFAΔ=−=⋅=⋅=⋅=⋅=∫∫∫∫ττ.
(7.31)
Кинетическая энергия тела массой m равна сумме кинетических энергий отдельных материальных точек (частей) этого тела. В рас-сматриваемом случае
2mv2mv2vm2vmWW2ii2i2i2iikki=⋅====ΣΣΣΣ, (7.32)
где m = Σmi - масса тела (системы).
Из формулы (7.32) видно, что кинетическая энергия не может быть отрицательной величиной, зависит только от массы движущихся тел и их скорости, но не зависит от того, каким образом данное тело достигло данной скорости.
Таким образом, кинетическая энергия системы (тела) является функцией состояния ее движения. Так как p = mv, то
m2pW2k=. (7.33)
Соотношение (7.33) устанавливает связь между кинетической энергией тела (системы) и его импульсом.
При скоростях, близких к скорости распространения света в ва-кууме, кинетическая энергия материальной точки
2220kcv1cmW−=, (7.34)
где m0 - масса покоящейся материальной точки (масса покоя);
с - скорость распространения света в вакууме;
m0 c2 = E0 - энергия покоя материальной точки.
При малых скоростях (v<<c) соотношение (7.34) переходит в формулу (7.30). Так как dWk = dA, то при:
1) dA > 0 - работа совершается над системой – dWk > 0 - кинети-ческая энергия системы возрастает;
2) dA < 0 - работа совершается системой – dWk < 0 - кинетиче-ская энергия системы убывает;
3) dA = 0 - если система не совершает работу или работа не со-вершается над системой – dWk = 0 - кинетическая энергия системы не изменяется.
23