Вероятностный смысл волн де Бройля.

Волны де Бройля не имеют классического аналога (это не звуковые волны, не электромагнитные волны, не световые волны). Это особый вид волн.

- волновая функция.

- мера вероятности попадания частицы в точке с координатами .

- вероятность нахождения частицы в объеме .

Волновая функция функция («пси-функция»).

- плотность вероятности

(условие нормировки).

- среднее значение координаты.

- среднее значение квадрата координаты.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Для любых волн 1).

- неопределенность координаты

- неопределенность координаты

- неопределенность координаты

2).

- временная неопределенность.

- частотная неопределенность.

Для волн де Бройля:

1).

, ,- неопределенности координат.

- неопределенности краевых импульсов.

2).

- временная неопределенность.

- неопределенность энергии.

Пример 1. (Пылинка).

.

В макромире можно пользоваться понятием траектории.

Пример 2. (Электрон в атоме).

Метод, который используется в классической механике, не работает при расчете траектории.

Основным уравнением квантовой волновой механики является дифференциальное уравнение для волновой функции.

Уравнение Шредингера (1926 г.)

- «мнимая единица» ()

- постоянная Планка.

- нестационарная волновая функция.

- масса частицы.

- потенциальная энергия частицы.

27.11.06. «Вывод» уравнения Шредингера.

Плоская волна, вдоль оси .

, ,,

,

,

, где - потенциальная энергия.

Обобщаем

- временное уравнение Шредингера (временное, так как в него

входит полная волновая функция .

Стационарное уравнение Шредингера.

(ищем решение в таком виде).

Примечание:

только если .

Обозначим .

- стационарное уравнение Шредингера.

Оно стационарно, если:

(значок означает независимость от).

.

В стационарном случае ,.

Операторная форма:

- решения.

Пример 1. (свободная частица массой , движущаяся со скоростьювдоль оси).

(свободная частица, нет внешнего силового поля).

(так как движение происходит только вдоль оси)

.

Общее решение- две плоские волны вдоль и вдоль.

В нашем случае

- полная неопределенность координаты и полная ясность с импульсом .

Пример 2. (электрон в потенциальном «ящике» (яме, колодце) ).

, если

, если

, - граничные условия.

Для области II.

Для I и III областей:

.

в уравнении .

, где - целое число.

Физический смысл: (где- длина волны де Бройля).

При приходим к классическому результату.

(с ростом)

при (соответствует классике).

Принцип соответствия Бора:

Любой кванто-механической результат при должен соответствовать классическому.

Любая новая теория в предельных случаях должна соответствовать старой теории.

Принцип 3. (Туннельный эффект). (обратить внимание, будут спрашивать на экзамене).

- высота барьера

- ширина барьера

Эффект проникновения частицы за потенциальный барьер в том случае, когда энергия частицы меньше высоты этого барьера().

Это чисто кванто-механический эффект.

- коэффициент прозрачности.

.