2_теплообмен (УЭИ_2016)

30

Это же количество теплоты, передаваемое далее в омывающую поверхность твердого тела жидкость или газ, можно выразить уравнением Ньютона-

Приравнивая эти два уравнения, получим

Дифференциальное уравнение (3.6) описывает процесс теплообмена на поверхности твердого тела и является искомым уравнением теплоотдачи.

3.6.2 Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена

Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена описывает температурное поле в потоке жидкости при соответствующих условиях однозначности. Оно выводится аналогично уравнению теплопроводности для неподвижного тела (см. раздел 2.2).

ного поля:

t = f (x, y, z, ),

то полное изменение температуры во времени будет

ля.

Уравнение (3.7) показывает, что полное изменение температуры в едини-

Подставив (3.7) в дифференциальное уравнение теплопроводности (2.12),

получим дифференциальное уравнение конвективного теплообмена:

Условия однозначности здесь такие же, как и для уравнения теплопроводности (2.12) – (2.14).

Получить аналитическое решение системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена (3.6), (3.8) невозможно. В таких случаях, когда нельзя получить приближенное теоретическое решение, используют теорию подобия и теорию анализа размерностей. С их помощью можно определить вид уравнения подобия, а количественную связь между числами подобия определяют экспериментально.

При изучении теплообмена основное внимание уделяется определению значения коэффициента теплоотдачи и установлению закономерностей его изменения от рода и температуры жидкости, от скорости и режима течения, от диаметра и длины трубы и т. д.

При проведении такого рода исследовании получается большое количество частных зависимостей, справедливых лишь для изученных случаев. К тому же эти зависимости между собой должны быть согласованы и увязаны. Такое положение создает большие трудности как при изучении, так и при расчете

32

процесса теплоотдачи. Чтобы выйти из этого затруднения, на помощь была привлечена теория подобия.

На основе этой теории частные зависимости можно обобщить, и сложную закономерность процесса теплоотдачи описать одним обобщенным уравнением.

3.7 Теория подобия

3.7.1Основы теории подобия

Теория подобия – это учение о подобных явлениях. Она позволяет обобщить подобные явления и из имеющегося математического описания процесса (хотя бы на уровне дифференциальных уравнений) получить общий вид критериального уравнения (уравнения подобия). Теория подобия лежит в основе моделирования, широко применяемого в различных отраслях техники.

Понятие подобия впервые дается в геометрии при рассмотрении вопроса о подобии треугольников. Зная свойства подобных треугольников, как известно, можно определить высоту дерева или ширину реки, не производя самих измерений. Понятие подобия в дальнейшем было расширено и применено к изучению физических процессов - механических, гидромеханических, электрических, тепловых и др.

Подобными физическими явлениями называются такие явления, которые проходят в геометрически подобных системах, у которых во всех сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени отношение одноименных физических величин есть числа постоянные.

набор констант подобия, представляющих собой отношение одноименных физических величин в сходственных точках пространства в сходственные моменты времени:

Константы подобия имеют одинаковое значение для конечных и бесконечно малых величин.

Рассмотрим правило выбора констант подобия на конкретном примере. Для этого воспользуемся дифференциальным уравнением теплоотдачи (3.6). Это уравнение для сходственных точек двух подобных между собой систем запишется так:

33

Из уравнения (3.15) видно, что выбор комплекса констант подобия ограничен условием: их определенная комбинация, обусловленная видом исходного уравнения, описывающего данный физический процесс, должна быть равна единице. Соотношение (3.15) получило название индикатора подобия.

Заменив значения констант подобия в уравнении (3.15) из уравнения (3.13), получаем

Следовательно, существуют такие безразмерные соотношения параметров, характеризующих процесс, которые у подобных явлений в сходственных точках имеют численно одинаковые значения. Эти безразмерные соотношения называют числами (или критериями) подобия.

34

Числа подобия принято называть именами крупных ученых, известных своими работами в области теплообмена и гидродинамики. Записанное уравнением (3.16) число называют числом Нуссельта и обозначают Nu.

Числами (критериями) подобия называются такие безразмерные соотношения параметров, характеризующих рассматриваемый процесс, которые у подобных явлений в сходственных точках имеют численно одинаковые значения.

В теории конвективного теплообмена используются следующие числа подобия:

Число Нуссельта:

Nu представляет собой безразмерный коэффициент теплоотдачи и показывает отношение действительной плотности теплового потока к плотности теплового потока при чистой теплопроводности, т.е. Nu характеризует увеличение теплообмена конвекцией по сравнению с чистой теплопроводностью.

Число Рейнольдса:

Re представляет собой безразмерную скорость потока, характеризует гидродинамический режим потока. Re выражает отношение сил инерции (скоростного напора) к силам вязкого трения.

При малых числах Re преобладают силы вязкости, наблюдается упорядоченный спокойный ламинарный режим течения жидкости. При больших

36

где а = /c - коэффициент температуропроводности, м2/с; l - определяющий размер, м;

- время, с.

Fo представляет собой безразмерное время и характеризует нестационарность процесса теплообмена.

Таким образом, можно сделать выводы:

•критерий Re отражает влияние вынужденного движения,

•критерий Gr – определяет влияние естественной конвекции,

•критерий Pr – учитывает влияние физических свойств жидкости на коэффициент теплоотдачи;

•критерий Fo – учитывает нестационарность процесса.

Числа Nu, Pr, Gr, Fo – являются числами теплового подобия. Re – число

гидродинамического подобия.

3.7.3Определяющие размер и температура

Вчисла подобия входит характерный линейный размер l, называемый определяющим размером. За определяющий размер принимают тот, который входит в условия однозначности.

Так, для потока в круглой трубе определяющим размером является ее

внутренний диаметр dвн , а при поперечном омывании трубы за определяющий размер принимается наружный диаметр трубы dн; при свободной естественной конвекции определяющим размером могут быть ширина b, длина l, или высота h поверхности теплообмена. При свободной естественной конвекции в ограниченном пространстве определяющим размером является ширина щели.

Определяющая температура – это температура, при которой определяются физические свойства жидкости в числах подобия. Однако такой универсальной температуры, выбором которой автоматически учитывалась бы зависимость теплоотдачи от изменения физических параметров с температурой, нет и не может быть. Поэтому при обработке опытных данных по теплообмену

игидравлическому сопротивлению за определяющую температуру целесообразно принимать такую, которая в технических расчетах бывает задана или легко может быть определена.

Так, при свободной конвекции в неограниченном пространстве опреде-

ляющей температурой является температура половинного слоя tm = 0,5 (tж + tc); при течении жидкости в трубе определяющей температурой для разных крите-

риев может быть температура стенки tc или средняя температура жидкости tж. Определяющие размер и температура записываются индексом к крите-

рию. Например, критерий Рейнольдса при определяющей температуре t = tж

37

(средняя температура жидкости) и определяющем размере l = dвн (внутренний диаметр трубы) запишется так:

3.7.4 Теоремы подобия

Основные положения теории подобия формулируются в виде трех теорем. Две из них говорят о явлениях, подобие которых заранее известно, и формулируют основные свойства подобных между собой явлений. Третья теорема обратная. Она устанавливает признаки, по которым можно узнать, подобны ли два явления друг другу.

Первая теорема подобия (теорема Ньютона)

Первая теорема подобия для подобного течения двух жидкостей была высказана И.Ньютоном в 1686 г. Однако строгое доказательство теоремы было дано Ж.Бертраном в 1848 г.

У подобных явлений индикаторы подобия равны единице, или у подобных явлений числа подобия численно одинаковы.

Первая теорема подобия устанавливает связь между константами подобия и позволяет вывести уравнения для чисел подобия.

Вторая теорема подобия (теорема Букингема)

Вторая теорема подобия была доказана в 1911 г. русским ученым А.Федерманом и в 1914 г. американским ученым Е.Букингемом.

Если физическое явление описывается системой дифференциальных уравнений, то всегда существует возможность представления их в виде уравнений подобия, т.е. интеграл дифференциального уравнения может быть представлен как функция чисел подобия дифференциального уравнения.

Вторая теорема разрешает искать решение дифференциального уравнения в виде уравнения подобия. Это позволяет избежать интегрирования и существенно сократить число переменных. Так, например, только одно число Грасгофа содержит в себе шесть переменных.

Третья теорема подобия (теорема Кирпичева)

Формулировка третьей теоремы подобия была дана М.В.Кирпичевым и А.А.Гухманом, а доказательство теоремы - М.В.Кирпичевым в 1933 г.

Подобны те явления, условия однозначности которых подобны и числа подобия, составленные из условий однозначности, численно одинаковы.

Условия однозначности:

−явления протекают в геометрически подобных системах;