Расчет на прочность вала при изгибе с кручением

Для ведущего вала прямозубой цилиндрической передачи редуктора с двумя зубчатыми колесами (рис. 4, а), передающего мощность Р, кВт, при

угловой скорости ω, рад/с,

1) определить вертикальные и горизонтальные составляющие реакций

подшипников;

2) построить эпюру крутящих моментов;

3) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной

плоскостях;

4) определить диаметр вала из условия прочности, полагая Fr₁ = 0,4F₁; Fr₂ =

= 0,4F₂.

Исходные данные:

• Марка стали – 40Х;

• Допускаемый коэффициент запаса прочности [n] =1,8;

• мощность, Р – 10 кВт;

• угловая скорость, ω – 20 рад/с;

• качество обработки поверхности – тонкое точение;

• , , , , [1].

Решение.

1. Составляем расчетную схему вала, приводя действующие на вал нагрузки к оси (рис. 4, б). При равномерном вращении вала M₁ = M₂, где M₁ и M₂ — скручивающие пары, которые добавляются при переносе сил и на ось вала.

2. Определяем вращающий момент, действующий на вал:

M₁=M₂=P/ω=10 ·10³H ·м / 20 рад/с = 0,5 кН·м.

3. Вычислим нагрузки, приложенные к валу:

M=F·r, где F – приложенная сила, r – радиус колеса.

4. Определяем реакции опор в вертикальной плоскости (рис. 4, б):

Выполним проверку:

,

следовательно, вертикальные реакции найдены верно:

Направления сил указаны на схеме (рис. 4, б).

Определяем реакции опор в горизонтальной плоскости (рис. 4, б):

Выполним проверку:

,

следовательно, вертикальные реакции найдены верно:

5. Строим эпюру крутящих моментов М_z . С учётом правила знаков получаем эпюру (рис. 2).

1. M_I = -M₂ = -0,5 кН*м;

2. M_II = -M₁ = -0,5 кН*м.

Рис. 2 - Эпюра крутящих моментов М_z

6. Определяем в характерных сечениях значения изгибающих моментов М_х в вертикальной плоскости и М_у в горизонтальной плоскости.

Методом сечений разделим вал:

Рис. 3 - Характерные сечения

1. 0 ≤ z ≤ 0,1м;

M_xI = *z;

M_xI (0) = 0;

M_xI (0,1) = 5,56кН*0,1м = 0,56 кН*м;

M_yI = *z;

M_yI (0) = 0;

M_yI (0,1) = 4,19кН*0,1м = 0,42 кН*м.

2. 0,1 ≤ z ≤ 0,18м;

M_xII = *z – F_r2*(z – 0,1);

M_xII (0,1) = 0,56 кН*м – 0 = 0,56 кН*м;

M_xII (0,18) = 5,56кН*0,18м – 2,10кН*(0,18-0,1)м = 0,83 кН*м;

M_yII = *z – F₂*(z – 0,1);

M_yII (0,1) = 0,42 кН*м;

M_yII (0,18) = 4,19кН*0,18м – 5,26 кН * (0,18 – 0,1)м = 0,33 кН*м.

3. 0 ≤ z ≤ 0,1м;

M_xIII = F₁ * z;

M_xIII (0) = 0;

M_xIII (0,1) = 8,33кН * 0,1м = 0,83 кН*м;

M_yIII = F_r1*z;

M_yIII (0) = 0;

M_yIII (0) = 3,33кН*0,1 м = 0,33 кН*м.

Таблица 1

Момент\Сечение	A	C	B	D
Mx, кН*м	0	0,56	0,83	0
My, кН*м	0	0,42	0,33	0
Mz, кН*м	0	0,5	0,5	0,5

Строим эпюры изгибающих моментов M_x в вертикальной плоскости и M_y в горизонтальной плоскости (Рис. 4, г,д).

7. Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по гипотезе наибольших касательных напряжений.

Сравним значения эквивалентного момента в сечениях C и B:

Так как суммарный изгибающий момент в сечении B больше, то оно и является опасным.

Так как в сечениях C и D наряду с изгибающими моментами действуют крутящие, берём эквивалентный момент сечения B:

8. Предел текучести для материала Сталь 40х σ_т = 330МПа.

Вычислим допускаемое нормальное напряжение:

[σ] = σ_т / [n] = 330Мпа / 1,8 = 183,33 МПа

9. Определяем требуемые размеры вала:

Полученное значение лежит между двумя стандартными значениями: 38 мм и 40 мм. Выбираем d_вала = 40 мм [3]. Первое значение не подходит не смотря на то, что оно ближе к вычисленному. Принимаем большее значение, чтобы предупредить преждевременное разрушение вала.

Рис. 4 - Схема вала и эпюры