Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Сист-лін-рівн-ТР-Семіренко-к2

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
06.06.2019
Размер:
428.59 Кб
Скачать

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра „Вища та прикладна математика”

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Типовий розрахунок

Одеса – 2013

Задача № 1

Розв’язати систему лінійних рівнянь:

а) методом Гауса; б) матричним способом

Приклад розв’язку задачі №1:

Розглянемо спосіб одержати матриці, оберненої до даної за методом послідовних виключень, тобто за допомогою таблиць Гауса.

Дано матрицю

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

A

3

1

0

.

 

2

0

 

 

 

1

Матрицю A розміщуємо в лівій частині таблиці, а в правій – одиничну матрицю того самого порядку. Послідовні перетворення виконуємо так, щоб в лівій частині таблиці одержати одиничні стовпці. Якщо на останній ітерації в одиночних стовпцях одиниці містяться на головній діагоналі, то в правій

частині таблиці отримаємо матрицю A 1. Розрахунки виконуємо за формулою

 

aik

aipaqk

з використанням схеми:

 

aik

aqp

 

 

 

Зауваження: в кожному рядку отримуємо «1» по діагоналі, щоб спростити розрахунки.

Отже, ми отримали обернену матрицю:

 

 

 

1

2

1

 

A 1

1

 

3

3

3

 

 

.

 

3

 

 

2

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

A

 

 

E

 

 

 

2

1

1

0

0

 

3

1

0

0

1

0

 

2

0

1

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

1

0

0

 

0

5

3

3

1

0

 

0

4

3

2

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

1

0

 

0

0

1

3 5

3 5

1 5

0

0

4

3

2

0

 

1

 

 

 

1 0 1 5

1 5 2 5

0

0

1

3 5

3 5

1 5

0

0 0 3 5

2 5 1 5 1

 

 

 

 

1 0 1 5

1 5 2 5

 

0

0

1

3 5

3 5 1 5

 

0

0 0

1

2 3 4 3

5 3

 

 

 

1 0 0

1 3 2 3

1 3

0

1

0

1

1

 

1

2 3

4 3

5 3

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перевірка:

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

3

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

0

 

 

1

1

1

 

 

0

1

0

 

 

2

0

1

 

 

 

2

4

 

 

5

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти розв’язок системи:

3

 

 

x y 2z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x y 2z 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x y 4z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матриця системи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2

 

Матриця – стовпець невідомих: X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

; матриця – стовпець: B

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином, маємо:

A X B, розв’язок системи

X A 1 B.

 

 

Знайдемо A 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

Е

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

2

 

 

1

 

0

0

 

 

 

 

 

2

1

2

 

 

0

 

1

0

 

 

 

 

 

4

 

1

4

 

 

0

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

1

 

0

 

0

 

 

 

 

 

0

 

3

2

 

 

2

1

 

0

 

 

 

 

 

0

 

3

4

 

 

4

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

1

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

0

1

2 3

2 3

 

 

1 3

0

 

 

 

 

 

0

3

4

4

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

4 3

 

1 3

 

 

1 3

 

0

 

 

 

 

 

0

1

2 3

 

2 3

 

 

1 3

0

 

 

 

 

 

0

0

2

 

2

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

4 3

 

1/ 3

 

 

1/ 3

 

0

 

 

 

 

 

0 1 2 3

 

2 / 3 1/ 3

 

0

 

 

 

 

 

0

0

1

 

1

 

 

1/ 2

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 0

 

1

1/ 3 2 / 3

 

 

 

 

 

0

 

1

0

 

0

2 / 3

 

1/ 3

 

 

 

 

 

0

 

0

1

 

1

 

1/ 2

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

Таким чином:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

6

2

4

 

 

 

 

1

6

2

4

2

A 1

 

0

4

2

; X

 

 

0

 

4

2

 

 

 

3 ;

 

 

 

6

 

6

3

 

 

 

 

 

6

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

1

x

 

1

12 6 4

11

; y

1

12 2

7

; z

1

12 9 3 4.

 

6

3

 

6

 

3

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перевірка:

113 73 8 2;

223 73 8 3;

443 73 16 1.

Розв’язок системи методом Гаусса:

x

 

y

z

bi

 

 

 

 

1

 

1

2

2

2

 

1

2

3

4

 

1

4

1

 

 

 

 

 

1

 

1

2

2

0

3

2

1

0

3

4

9

 

 

 

 

 

1

 

1

2

2

0

 

 

2 3

1 3

0

3

4

9

 

 

 

 

 

1

 

0

4 3

5 3

0

 

1

2 3

1 3

0

 

0

2

8

 

 

 

 

1

0

4 3

5 3

0

1

2 3

1 3

0

0

 

 

4

 

 

 

 

1

0

0

1 3

0

1

0

7 3

0

0

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Розв’язок системи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 11;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 7

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

Простіше всі розрахунки виконувати в одній таблиці:

 

x

y z

 

A 1

bi

x

y z

 

A 1

bi

 

1

2

1

0

0

2

1

0

4 3 1 3

1 3

5 3

2

1

2

0

1

0

3

0

 

2 3 2 3

1 3

1 3

0

0 2 2

1

8

4 1 4

0 0 1 1

1

1

2

1

0

0

2

1

0

4 3

1 3

1 3

53

 

 

 

0 3

2 2 1 0

1 0

1 2 3 2 3 1 3

13

0 3

4 4

0 1 9 0 0

 

1

1 2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

2

1

 

0

2 1 0 0 1

1 3

11

0

 

2 3 2 3

1 3 1 3

0

1

0

0 2 3

3

0 3

4 4

 

0

9

1

1 2

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 11;

 

 

 

A 1

1

1 3

2 3

 

3

 

Таким чином:

0

2 3

1 3

 

y 7

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

1 3

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

12 6 4

11

;

x

 

 

 

6

2

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

12 2

7

 

 

y

 

 

0

4

2

 

3

 

y

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

3

 

 

 

z

 

 

 

 

3

1

 

z

1

12 9 3 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Варіанти:

x 4 y 2z 8

x 5 y 3z 1

1.

4x 6 y z 4.

2x y z 1

4.x 2 y 2z 03x y 4z 1.

x 2 y 4z 1

5x y 2z 1

3x y z 17.

x 2 y 3z 3

5 y z 2

x y 2z 1

4x 2 y 3z 1

x z 2

2.

2x y z 0.

 

x 3y 2z 3

 

3x y z 5

5.

3x 5 y 2z 1.

x y 2z 2

8.2x y 2z 34x y 4z 1

2x 3y 6z 17

11.3x 4 y z 3x 5 y 2z 10

2x y z 2

x 2 y 3

x y 1.

x 4 y 2z 33x y z 5

3x 5 y 6z 96.

2x y z 3 9. x y z 42x 2 y z 1

x 4 y 2z 8

x 5 y 3z 1

12.

4x 6 y z 4

7x 2 y 4z 1x 3y 2z 2

13.

x 4 y z 8.

2x 2 y z 6

 

4x 3y z 3 15.

14.

x 4 y 2z 9.

x y z 1

15.8x 3y 6z 24x y 3z 3.

2x y z 3

2x 3y 2z 4

 

x y z 4

 

3x 2 y z 11

16.

17.

 

 

 

3x 4 y z 7

2x 2 y z 1

 

 

x 3y z 2

x 2 y 4z 31

 

x 4 y 2z 3

 

 

18.

19. 5x y 2z 20

 

 

 

3x y z 9

x 5 y 3z 10

 

7

x 4 y 2z 3

3x y z 5

20.

3x 5 y 6z 7

3x y 5z 2 23. x 2 y 4z 32x 4 y 3z 1

x 3y z 4 21. 2x y z 02x y z 1

3x 5z 14 y 2z 2

24.

x 3y z 2

8x 3y 6z 2

22.4x y 3z 3x y z 1

3x 2 y 4z 2

 

x 3y 5z 3

25.

 

x 2 y 3z 1

 

x 2 y 3z 7

 

x 2 y 2

x y 2z 2

 

 

 

 

 

2x y 2z 1

26. 5x y 2z 7

27. 4x 7 y 2z 1

28.

 

3x y z 2

 

x 5 y z 2

 

 

 

 

4x y 4z 3

x 2 y 3z 1

29.2x 3y 4z 13x 2 y 5z 2

x 4 y 2z 3

3x y z 5

3x 5 y 6z 9.

Задача 2

Розв’язати систему методом Гауса:

 

x1 2x2 3x3 4x4 0

 

7x1 14x2 20x3 27x4 0

 

 

 

 

 

 

5x1 10x2 16x3 19x4 2

 

3x 5x 6x 13x 5.

 

1

2

3

4

Розв’язок системи знайдемо за допомогою метода Гауса – таблиць Гауса.

8

x1

x2

x3

 

x4

bi

 

2

3

 

 

4

0

7

14

20

27

0

5

10

16

19

2

3

5

6

 

13

5

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

4

0

0

0

1

 

1

0

0

0

1

 

 

1

2

0 1

3 1

5 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

4

0

II.

0

 

3

 

1

5

0

0

1

1

2

 

 

0

0

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

1

0

3

6

10

III.

0

1

3

 

1

5

0

0

 

 

1

2

 

 

 

 

0

0

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

3

4

IV

0

1

0

 

2

1

0

0

1

 

1

2

 

 

 

0

0

0

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

3

4

V

0

1

0

 

2

1

0

0

1

 

1

2

 

 

 

0

0

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

0

 

0

1

VI

0

 

0

 

0

1

0

0

1

 

0

1

 

 

 

0

0

0

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

9

Розв’язок:

x1 1,

x2 1,

x3 1,

x4 1

 

 

1 2 3 4 0

 

 

 

 

20 27

0

 

 

7 14

 

Перевірка:

 

10 16 19 2

 

 

5

 

 

 

3 5

6 13 5.

 

 

 

 

Варіанти завдань: x1 x2 x3

x4

 

3x1 x2 x3 x4 1

 

x1 3x2 x3 x4 1

 

1.

x1 x2 3x3 x4 1

 

x x x 3x 1.

 

1

2

3

4

2x1 2x2 x3 x4 4

 

4x1 3x2 x3 2x4 6

 

3.

 

 

 

 

8x1 5x2 3x3 4x4 12

3x 3x 2x 2x 6.

 

1

2

3

4

2x1 5x2 4x3 x4 20

x 3x 2x 11

1 2 3 4

5.2x1 10x2 9x3 9x4 40

3x1 8x2 9x3 2x4 37.x

x1 4x2 3x3 2x4 1

 

x1

x3

2x4 0

 

7.

 

9x2 5x3 2x4 1

2x1

 

2x 7x 7x 6x 2.

 

1

2

3

4

2x1 3x2 11x3 5x4 2

 

x1 x2 5x3 2x4 1

 

2.

2x1 x2 3x3 2x4 1

 

x x 3x 4x 3.

 

1 2

3

4

5x1 3x2 2x3 4x4 3

4x1 2x2 3x3 4 1

4.8x1 6x2 x3 5x4 07x1 3x2 7x3 17x4 3.7x

x1 x2 2x3 4x4 5

4x1 4x3 4 1

6.3x1 x2 2x3 5x4 0x1 3x2 2x3 3x4 1.9x

x1 x2 2x3 4x4 5

4x 4x 1

1 3 4

8.3x1 x2 2x3 5x4 0x1 3x2 2x3 3x4 1.9x

10