Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський аналітична геометрія

Методичні вказівки щодо проведення практичних занять

Одеса-2011

Методичні вказівки розроблено старшими викладачами кафедри «Вища та прикладна математика» Соколовською Галиною Володимирівною та Соколовським Сергієм Юрійовичем.

Методичні вказівки схвалено кафедрою «Вища та прикладна математика» ОНМУ 18 лютого 2011р. (протокол №5).

Рецензенти: доктор фіз.-мат. наук, професор І.Л.Андронов;

кандидат фіз.-мат. наук, доцент Ю.О.Григор’єв.

Розділ 1. Пряма лінія на площині

§1 Різні види рівняння прямої лінії на площині

1. Рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно заданому векторові (рис. 1) має вигляд

.

Вектор називають вектором нормалі прямої . Розкривши дужки в рівнянні отримаємо загальне рівняння прямої

в якому - координати нормального вектора, .

2. Рівняння прямої, що проходить через точку паралельно заданому векторові а) канонічне

,

б) параметричні

Вектор називають напрямним вектором прямої (рис. 2).

3. Рівняння прямої, що проходить через дві точки та (або через точку паралельно векторові )

.

4. Рівняння прямої, що проходить через точку і має заданий кутовий коефіцієнт

.

Кутовий коефіцієнт , де - кут між додатним напрямом осі і прямою (рис. 3).

5 . Рівняння прямої, що перетинає осі координат в точках та ,або відтинає на координатних осях відрізки довжиною та (рис.4), має вигляд

.

§2 Основні формули

1. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності

Один з кутів, що утворюються між двома прямими та дорівнює куту між їх нормальними векторами і , або між їх напрямними векторами та .

Отже

а);

б).

Умови паралельності прямих

а) || ;

б) ||.

Умови перпендикулярності прямих

а) ;

б) .

Якщо прямі задано рівняннями з кутовим коефіцієнтами і , то кут між ними можна обчислити за формулою

,

- найменший кут, на який треба повернути проти годинникової стрілки пряму, щоб вона співпала з прямою (рис.5).

Умови паралельності і перпендикулярності прямих

а) ||;

б) .