§2. Диференціальні рівняння другого порядку. Рівняння, що допускають зниження порядку.

Означення. Диференціальне рівняння другого порядку, розв’язане відносно старшої похідної, має вигляд:

.

Якщо до диференціального рівняння (2.10) приєднані початкові умови

,

то кажуть , що задано задачу Коші (2.10), (2.11).

Теорема 2.2 Якщо функція і її частинні похідні по та по неперервні у деякій області , що містить точку , то існує єдиний розв’язок задачі Коші (2.10), (2.11), визначений у деякому околі точки .

Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння другого порядку називається двопараметричне сімейство функцій , що має такі властивості:

1) будь-яка функція цього сімейства є розв’язком рівняння (2.10);

2) для будь-яких початкових умов (2.11) (точка належить області, в якій виконано умови теореми 2.2), можна так підібрати і , що функція буде їх задовольняти.

Якщо надати сталим і конкретних значень, то отримаємо частинний розв’язок. Розглянемо декілька видів рівнянь (2.10) які зводяться до рівнянь першого порядку, тобто допускають зниження порядку.

1. Нехай рівняння має вигляд . Його можна розв’язати проінтегрувавши двічі обидві його частини.

Приклад. .

Розв’язання. . Тоді

.

2. Розглянемо рівняння , яке не містить невідомої функції в явному вигляді, тоді роль невідомої функції може виконати її похідна . За допомогою заміни таке рівняння зводиться до рівняння першого порядку . Розв’язавши його знайдемо , а потім з рівняння знайдемо .

Приклад. .

Розв’язання. Застосуємо заміну . Отримаємо рівняння першого порядку , яке є однорідним. Виконаємо у ньому заміну . Одержимо ; . Замінивши на отримаємо . Застосувавши метод інтегрування частинами, одержимо загальний розв’язок .

3. Розглянемо рівняння , яке не містить незалежної змінної. Знизити порядок такого рівняння можна за допомогою заміни ( вважаємо незалежною змінною). Тоді і рівняння набуває вигляду . Нехай - загальний розв’язок цього рівняння, тоді . Останнє рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними. Розв’язавши його, отримаємо шукану функцію .

Приклад. Розв’язати задачу Коші .

Розв’язання. Рівняння не містить , тому виконаємо заміну , . Отримаємо рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними . Тоді ; . В останню рівність підставимо обидві початкові умови (обравши перед квадратним коренем знак «+», щоб вони виконувались), одержимо: , звідки . Тоді або . Розв’яжемо останнє рівняння: ; . З початкової умови , маємо: . Отримали загальний розв’язок .

§4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

Означення. Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння виду , де - задані функції. Якщо , то рівняння називається лінійним однорідним, у протилежному випадку - лінійним неоднорідним.

Лінійні однорідні рівняння.

Розглянемо основні властивості розв’язків лінійних однорідних диференціальних рівнянь

.

1. Диференціальне рівняння (2.12) має тривіальний розв’язок .

2. Якщо функції та - частинні розв’язки рівняння (2.12), то їх лінійна комбінація , також є розв’язком цього рівняння. Дійсно,

.

Отже, лінійна комбінація також задовольняє рівняння (2.12).

Означення. Функції і називаються лінійно незалежними, на відрізку , якщо функція не є сталою на цьому відрізку.

Теорема 2.3 (про загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння). Якщо функції і - лінійно незалежні частинні розв’язки рівняння (2.12), то його загальний розв’язок має вигляд , де і - довільні сталі.

Із доведенням можна ознайомитись у підручниках і .