Геометричний зміст визначеного інтеграла

З геометричної точки зору дорівнює площі криволінійної трапеції, що обмежена лініями та графіком неперервної й невід’ємної на відрізку функції .

Властивості визначеного інтеграла

1. Визначений інтеграл від суми двох або декількох функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:

.

2. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

.

3. Якщо проміжок інтегрування розбити точкою на частини, то:

.

4. Нехай на відрізку виконано нерівність , тоді

.

5. . 6. . 7.

Справедливість властивостей випливає або з самого означення визначеного інтеграла як границі інтегральної суми або з його геометричного змісту.

Теорема 1.5. Нехай функція неперервна на відрізку , тоді на цьому відрізку знайдеться таке число , що

Доведення. Якщо функція неперервна на відрізку, то вона досягає на ньому свого найбільшого і найменшого значення.

Тоді з геометричного змісту визначеного інтегралу випливає нерівність

.

Адже ліва і права частини цієї подвійної нерівності відповідно дорівнюють площам прямокутників та (рис.2), а середня частина – площі криволінійної трапеції, що заштрихована. Тоді, розділивши всі частини останньої нерівності на , отримаємо:

.

Позначимо , тоді . За теоремою про середнє значення неперервної на відрізку функції , існує така точка , в якій виконано . Помноживши обидві частин цієї рівності на одержимо рівність (1.7).

§8. Інтеграл зі змінною верхньою межею

Якщо функція неперервна на відрізку , то дорівнює певному числу. Якщо змінити верхню межу так, щоб функція залишалася неперервною на новому проміжку, то зміниться і значення визначеного інтегралу. Таким чином, визначений інтеграл можна розглядати як функцію від верхньої межі , неперервна на .

Теорема 1.6 (Барроу про похідну інтегралу зі змінною верхньою межею). Якщо функція неперервна на , то функція диференційовна на по змінній і

Доведення. Зафіксуємо і обчислимо . З геометричної точки зору дорівнює площі криволінійної трапеції (рис.3), побудованої на відрізку . Дамо аргументові приріст і обчислимо , що дорівнює площі криволінійної трапеції з основою . Приріст функції тоді має вигляд: .

За теоремою 1.5 маємо: існує така точка , що . Знайдемо похідну функції за означенням. , тому, що , коли .

§9. Формула Ньютона - Лейбніца

Нехай - первісна для функції на . За теоремою Барроу, інтеграл зі змінною верхньою межею - також її первісна. Тоді і відрізняються одна від одної на сталий доданок . Отже

Підставимо в обидві частини останньої рівності замість . Отримаємо: . Звідки маємо: . Підставимо тепер в рівність (1.8) замість і замінимо зміну інтегрування на , одержимо:

Формула (1.9) називається формулою Ньютона – Лейбніца. Якщо ввести позначення , то ця формула може бути записана так: .

Приклад.

.