Основное уравнение надежности

Вероятность безотказной работы связана с интенсивностью отказов одним из основных уравнений теории надежности:

Для вывода этого основного уравнения снова запишем выражение для λ*:

Далее умножим числитель и знаменатель на N, от чего равенство не нарушится:

Помня, что , а перепишем последнее равенство в виде: (*)

Статистические оценки величин в равенстве (*) уточняются с увеличением количества испытуемых изделий N и с уменьшением интервалов времени Δt. При этом они (эти статистические оценки) стремятся к точным значениям соответствующих величин:

Поэтому равенство (*) для статистических оценок величин λ*, f* и Р* в пределе переходит в равенство для точных значений этих величин (λ, f и Р):

, (**)

В уравнение (**) входят три неизвестные функции, что обычно неудобно для использования. Для уменьшения количества неизвестных функций в (**) учтем, что: .

Так как Q(t) + P(t) =1, и отсюда при дифференцировании последнего равенства получаем:

,

Подставив последнее равенство в (**), получим:

(***)

В уравнение (3.5) входят уже две неизвестные функции (λ и Р). Функция λ(t) часто известна по данным эксплуатации или испытаний. Поэтому (***) становится уравнением для одной неизвестной функции Р.

Это - дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Разделив переменные, можно записать:

.

Последнее уравнение можно решать двумя путями:

1) Как обычно в курсе высшей математики, нужно взять неопределенные интегралы от обеих частей уравнения:

Постоянная интегрирования С находится с использованием каких-либо начальных условий для Р.

2) Второй путь решения эквивалентен первому. От обеих частей уравнения берутся определенные интегралы с переменными верхними пределами и с фиксированными нижними пределами, которые в обоих интегралах должны соответствовать друг другу. Из граничных условий надежности знаем (см. выше), что при t = 0 Р=1. Поэтому получим соотношение:

Продолжим решение по второму пути. Возьмем левый интеграл в последнем равенстве:

Получаем, что , или потенцируя, получаем:

.

Это уравнение дает возможность вывести зависимость вероятности безотказной работы Р от времени через известную функцию λ(t).

Также это уравнение является одним из составляющих т.н. «треугольника соотношений» в теории надежности (рис.7).

Рис.7. «Треугольник соотношений»

Стадии изменения интенсивности отказов λ(t).

Рис. 8. Стадии изменения интенсивности отказов λ(t).

Стадия I называется стадией «приработки».

Здесь частота отказов новых изделий (например, машин и др.) повышена из-за наличия в них различных скрытых дефектов (например, литейных раковин в отливках, погрешностей механической обработки, сварки, сборки и т.д., просочившихся через контроль ОТК, ошибок конструкторов).

На стадии I идут в основном внезапные отказы из-за случайных причин. Эта стадия отличается большой индивидуальностью по отказам и отсюда их плохой предсказуемостью.

Стадия II- это стадия нормальной эксплуатации новой (исправной) техники.

На этой стадии новая техника (например, оборудование предприятий) отказывает в основном из-за случайно возникающих непроектных условий работы (из-за ошибок рабочих, колебаний качества сырья, скачков напряжения в сети и др. - в целом из-за того, что по указанным причинам техника подвергается перегрузкам - механическим, тепловым и др.).

Здесь отказы также идут в основном внезапные (по случайным причинам). Их частота не зависит от проработанного времени к моменту отказа.

Указанные случайные перегрузки, как показывает практика, в постоянных условиях эксплуатации возникают также с примерно постоянной частотой. Поэтому и частота отказов на этой стадии в расчете на одно работоспособное изделие в группе (т.е. интенсивность отказов λ) тоже примерно постоянна.

Стадия III - износовых (постепенных) отказов.

Предпосылки таких отказов развиваются постепенно (из-за процессов старения, т.е. износа в широком смысле слова), поэтому на данной стадии происходят в основном постепенные отказы (в отличие от предыдущих стадий).

Для отдельных видов техники не все стадии эксплуатации имеют место, или отдельные стадии видоизменяются; так, например, у электронной техники до конца эксплуатации продолжается стадия II (стадия III отсутствует).

При эксплуатации автомобильных шин, когда их износ сильно выражен с самого начала эксплуатации, наоборот, практически сразу после стадии I начинается стадия III (отсутствует стадия II).