Постепенные отказы

Рис. 5. Результаты постепенных (износовых) отказов

4. Показатели безотказности и способы их определения

Показатели безотказности:

1. Вероятность безотказной работы P(t)

2. Вероятность отказа Q(t)

3. Плотность распределения с.в. наработки до отказа f(t)

4. Закон (функция) распределения с.в. наработки до отказа F(t)

5. Средняя наработка до отказа Т₁, мото*ч (км, ч и т.д.)

6. Интенсивность отказов (t), 1/ч (1/км, 1.мото-ч и т.д.)

7. Наработка до отказа Т — продолжительность или объем работы объекта от начала эксплуатации до возникновения первого отказа.

4.1. Наработка до отказа Т, мото-ч:

В ходе испытаний (работы) фиксируются не только количества отказавших изделий n(t), но также и их наработки до отказов (рис.6).

Рис.6. Схема к определению наработки до отказа

Под наработкой на отказ обычно понимают время, прошедшее с момента, когда объект начал функционировать, до момента первого отказа. Обозначим момент начала работы t = 0. Наработка на отказ будет случайным образом изменяться в некоторых пределах. Поэтому естественно интерпретировать наработку на отказ, как случайную величину Т. Введем переменную, описывающую состояния объекта X(T). Она принимает два дискретных значения: X(T)=1, когда объект функционирует, и X(T)=0, когда наступает отказ и объект перестает функционировать. Связь между переменной состояния X(Т) и наработкой на отказ Т показана на рис. 6.1.

Обратите внимание, что наработка на отказ Т не всегда измеряется в единицах календарного времени. Она также может быть измерена:

• количеством переключений для реле;

• количеством пройденных километров для автомобиля;

• количеством оборотов для подшипника;

• количеством циклов подъема-опускания для периодически работающего крана;

• и т.д.

Из этих примеров, видно, что наработка на отказ часто может быть выражена дискретной переменной. Дискретная переменная может, однако, быть аппроксимирована непрерывной переменной. Поэтому будем считать, что непрерывная случайная величина - наработка на отказ Т распределена с функцией плотности вероятности f(t) и с функцией распределения F(t).

Тем самым в рассмотрение вводится случайная величина Т - наработка до отказа (для восстанавливаемых объектов – средняя наработка на i-ый отказ или средняя наработка между отказами).

Рис.6.1. Связь между переменной состояния X(Т) и наработкой на отказ Т

Средняя наработка до отказа представляет собой математическое ожидание случайной величины времени Т «жизни» элемента:

Возьмем интеграл по частям, воспользовавшись известной формулой:

В результате получаем:

Подставим вместо функции F(t) выражение F(t) = 1- P(t) и возьмем интеграл:

Приведём подобные члены и учтем, что , (т.е. интеграл сходящийся), получаем:

Таким образом, средняя наработка до отказа геометрически выражается площадью, ограниченной осями координат и кривой P(t), как это иллюстрируется рис. 6.1. Заштрихованная площадь на рисунке равна площади прямоугольника высотой, равной единице, и длиной, равной среднему времени наработки.

Рис.6.1. Графическая интерпретация средней наработки до отказа

Среднюю наработку элемента до отказа по экспериментальным данным определяют по формуле:

где t_j - наработка j-го элемента;

N - количество элементов, поставленных на испытание.

4.2. Вероятность отказа Q(t) и вероятность безотказной работы P(t):

Имеется N одинаковых изделий (например, подшипников). В момент времени t=0 начинается их работа (или испытания на надежность) в одинаковых условиях. В ходе испытаний фиксируются моменты времени отказов t_отк и число отказавших изделий к каждому t_отк. Ремонта отказавших изделий не производится.

Таким образом, в любой момент времени t известно количество отказавших изделий n(t) и количество изделий, оставшихся работоспособными N_p(t). Поскольку ремонта изделий после их отказов не производится, то в любой момент времени имеем:

n(t)+ N_p(t)=N;

Отношение называется статистической оценкой вероятности отказа к моменту времени t (или на интервале времени [0,t]).

При увеличении числа испытуемых изделий N величина Q^*(t) уточняется, при этом она как к пределу стремится к точному значению Q(t), т.е. к точной вероятности отказа на интервале времени [0,t]:

Аналогично отношение называется статистической оценкой вероятности безотказной работы на интервале [0,t]. При увеличении N Р*(t) также уточняется и стремится к P(t): ,

где P(t) - точная вероятность безотказной работы на [0,t]

Вероятность безотказной работы P(t):

(4.2.1)

Вероятность отказа Q(t):

Q(t)=F(t)=1-P(t)

Этот показатель чаще используется в популярной литературе и журналистами. Специалистами в области надёжности количественная оценка надёжности по формуле (4.2.1) используется редко, так как отражает лишь среднюю, так называемую точечную оценку надёжности (безотказности). Специалистам чаще требуется знать верхнюю и нижнюю границы надёжности. Эти доверительные границы находят с использованием методов математической статистики.

4.3. Плотность распределения с.в. наработки до отказа f(t):

Перед определением понятий «плотность распределения», «функция распределения», «интенсивность отказов» стоит отметить, что изменение надёжности подчиняется некоторым статистическим закономерностям, которые определяются лишь экспериментально. При этом не ставится задача выяснить причины отказов и определить возможность их устранения, а констатируется лишь факт отказа.

Пусть в момент t = 0 элемент начинает работу, а в момент t =T происходит его отказ. Тогда Т время «жизни» элемента является случайной величиной с законом распределения

F(t)= P(T<t) ,

где F(t) - функция распределения наработки до отказа (иногда её называют вероятностью отказа элемента до момента t).

Случайная величина T также может характеризоваться функцией плотности распределения наработки до отказа (плотностью вероятности отказа):

Плотность распределения наработки до отказа f(t):

Точечная оценка плотности распределения f(t):

Экспериментальная (эмпирическая) функция надёжности строится следующим образом. Время работы элемента разделяют на разряды (интервалы) и в каждом интервале оценивается надёжность по формуле (4.2.1) для какого-то характерного времени t из интервала.

4.4. Закон (функция) распределения с.в. наработки до отказа F(t):

F(t)=1-P(t)

Непрерывная случайная величина - наработка на отказ Т распределена с функцией плотности вероятности f(t) и с функцией распределения:

при t>0

F(t), таким образом, обозначает вероятность того, что объект откажет на интервале наработки (0, t]. Функция плотности вероятности f(t) определяется как:

Это означает, что, когда Δt мало:

(4.4.1)

4.5. Интенсивность отказов (t)

В домашнем быту часто гораздо больше интересуются надежностью подержанных вещей, чем новых. Покупая часы, потребитель имеет гарантию магазина, обеспечивающую замену часов на новые или ремонт, если купленные откажут в течение некоторого гарантийного срока. Поэтому способность часов безотказно работать в течение гарантийного срока мало волнует потребителя. Совсем иначе обстоит дело со сроком их работы после истечения гарантии. Именно в этот период отказ часов целиком ложится на плечи покупателя. Интересы покупателя состоят в том, чтобы вероятность безотказной работы в течение нескольких лет после истечения гарантийного срока была достаточно велика.

Рассмотрим эту ситуацию с формальных позиций. Обозначим через t_н некоторый срок, в течение которого исследуемый объект работал безотказно, и введем вероятность Р{τ_k>T|t_н}, которая означает вероятность безотказной работы в течение времени Т после того, как объект безотказно проработал время t_н. Так, для нашего примера, если срок гарантии год, то t_н=1. Желая определить вероятность того, что часы проработают еще двадцать лет после истечения гарантии, мы должны будем вычислить вероятность Р{τ_k>20|t_н=1}. Рассматриваемая вероятность является условной, и для ее вычис­ления нам придется воспользоваться тем обстоятельством, что любое распределение времени безотказной работы может быть формально записано в следующем виде:

(*)

где через λ(t) обозначена функция:

Функция λ(t) широко используется в теории надежности и носит название интенсивности отказов.

Интенсивность отказов тесно связана с функцией плотности распределения случайной величины. Эти две характеристики, с одной стороны, похожи, а с другой - имеют существенное отличие. Для того чтобы более подробно установить смысл интенсивности отказов λ(t), рассмотрим ее еще с нескольких позиций.

Обратимся к формуле, определяющей λ(t). Представим эту формулу в виде:

где N — число наблюдаемых экземпляров исследуемого объекта.

Произведение f(t)Δt есть вероятность отказа объекта за время от t до t+Δt. Соответственно f(t)ΔtN есть среднее число объектов, отказавших за время от t до t+Δt.

Произведение [1—F(t)]N есть среднее число объектов, не отказавших за время t. Таким образом, произведение λ(t)Δt есть отношение числа устройств, отказавших за время от t до t+Δt, к числу устройств, оставшихся к моменту времени t в работоспособном состоянии.

Рассмотрим отдельно случай экспоненциального распределения. Его функция имеет вид:

Легко убедиться в том, что для этого распределения интенсивность отказов постоянна и равна λ(Т) = λ.

Таким образом, у экспоненциального распределения среднее остаточное время совпадает со средним временем «нового» объекта. В этом смысле объекты, подчиняющиеся экспоненциальному закону, проработавшие безотказно некоторое время, ничуть не хуже новых. Отсюда следует, в частности, что такие объекты нет смысла принудительно заменять при профилактических ремонтах.