Метод половинного деления.

Пусть уравнение F(x) = 0 имеет один корень на отрезке [a;b]. Функция F(x) непрерывна на отрезке [a; b].

Метод половинного деления заключается в следующем:

Сначала выбираем начальное приближение, деля отрезок пополам, т.е. х₀ = (a+b)/2.

Если F(x)=0, то x₀ является корнем уравнения. Если F(x) 0, то выбираем тот из отрезков, на концах которого функция имеет противоположные знаки. Полученный отрезок снова делим пополам и выполняем действия сначала и т.д.

Процесс деления отрезка продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не будет меньше заданного числа .

Блок-схема метода половинного деления.

да нет

да нет

Теорема математического анализа метода половинного деления.

Согласно тому что функция, непрерывна в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нудь внутри интервала.

Пусть функция непрерывна на отрезке [ , ]. Процедура метода заключается в последовательном сокращении длинны отрезка для локализации корня уравнения. Первоначально проверяются значения заданной функции на концах отрезка.

В случае, если , один из концов отрезка является корнем уравнения.

Пусть на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, то есть имеет место соотношение .

Вычисляется значение аргумента в середине отрезка, , и вычисляется значение

функции в этой точке.

Далее сравниваются знаки функций в точке например, в левой точке отрезка.

Если имеет место соотношение , то корень следует искать на отрезке . В противном случае-корень разыскивается на отрезке , в результате выполненной операции исходный отрезок сократился вдвое.

Схема метода половинного деления.

Далее, в зависимости от ситуации, отрезок вновь делится пополам,

и так далее.

Для прекращения вычислительной процедуры применяют различные критерии:

-если функция достаточно ‘пологая’, имеет смысл использовать условие (рис. а).

-если функция ‘круто’ меняет своё значение, целесообразно применять условие(рис. b).

b

Рис. а Рис. б

Частные случаи поиска корня нелинейного уравнения

В случае, если заранее неизвестен характер ‘поведения’ функции, имеет смысл использовать одновременно оба условия для прекращения итерационного процесса.

Лабораторная работа № 9

Тема: Решение нелинейных уравнений.

Цель работы: Получение практических навыков в организации итерационных циклов. Знакомство с методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Получение навыков составления блок-схемы алгоритма и определения данных.

Постановка задачи:

1. Для конкретного варианта найти корень уравнения F(x) = 0 с точностью =10^-4, используя один из численных методов. На печать вывести вычисленное значение корня и для сравнения точное значение корня.

2. Значения a, b, x₀,  вводятся с клавиатуры. Должен быть предусмотрен контроль вводимых значений.

3. В программе необходимо предусмотреть подсчет и вывод на печать числа итераций, за которое удается найти значение корня с заданной точностью.