Занятие № 10 Моменты инерции

1. Вычислить момент инерции однородной равносторонней треугольной пластины массой , со стороной относительно оси , проходящей через ее вершину параллельно основанию.

2. В ычислить радиус инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси , перпендикулярной его оси и отстоящей на расстоянии от центра масс . Радиус цилиндра , высота .

3. Н айти главные моменты инерции однородного шара с радиусом , имеющего внутри сферическую полость с радиусом . Масса тела .

4. В вершинах квадрата со стороной расположены массы и . Найти компоненты тензора инерции относительно: а) осей ; б) осей .

5. М ассы и расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами и . Найти главные оси и главные моменты инерции системы.

Занятие № 11 Динамика твердого тела

1. Однородный стержень массой и длиной укреплен так, что может вращаться вокруг вертикальной и горизонтальной осей, проходящих через его середину. Найти закон движения стержня.

2. О днородный полый полуцилиндр (половина цилиндрической поверхности, разрезанной вдоль плоскости симметрии) с массой и радиусом находится на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости и совершает линейные плоскопараллельные колебаний. Найти закон движения и период малых колебаний.

3. Н айти частоту линейных колебаний неоднородного тонкого стержня с массой и длиной , концы которого скользят по расположенному в вертикальной плоскости гладкому обручу с радиусом . Плотность стержня линейно зависит от расстояния до одного из его концов.

4. Однородный диск массой скатывается без скольжения по наклонной плоскости с углом . Найти функцию Лагранжа, закон движения диска и реакцию плоскости.

5. Цилиндрическая тонкостенная бочка массой , заполненная невязкой жидкостью массой , скатывается с наклонной плоскости с углом . Найти закон движения и силу трения покоя. Проскальзыванием и моментами инерции днищ бочки пренебречь.

Занятие № 12 Уравнения Гамильтона

1. Д ве частицы с массами и соединены легким стержнем длиной и перемешаются по гладким сторонам неподвижного прямого угла, расположенного в вертикальной плоскости. Найти гамильтониан системы и канонические уравнения движения.

2. Два шарика с массами и соединенные легкой пружиной с жесткостью и длиной в ненапряженном состоянии, движутся по гладкой горизонтальной прямой, проходящей через центры шариков. Найти гамильтониан системы и канонические уравнения движения.

3. Найти канонические уравнения движения частицы с массой в однородном поле тяжести по гладкой поверхности кругового конуса с углом раствора и вертикальной осью симметрии. Раствор конуса направлен вверх.

4. Найти канонические уравнения движения частицы с массой в однородном поле тяжести по гладкой сфере с радиусом .

5. Найти канонические уравнения движения частицы с массой , в однородном поле тяжести, по гладкой плоскости с углом наклона к горизонту.