7.1. Мета роботи

Навчитись графоаналітичним способом перевіряти відповідність дослідного розподілу нормальному.

7.2. Загальні теоретичні положення

В математичній статистиці вводиться поняття генеральної сукупності випадкових похибок вимірювання. Вона являє собою множину похибок, із якої можна зробити вибірку.

На основі закону великих чисел можна стверджувати: якщо генеральна сукупність підлягає певному закону розподілу, то і вибірка (сукупність певних похибок, взятих із досліджуваної сукупності) із цієї сукупності, коли об’єм її достатньо великий, буде підпорядковуватися цьому ж закону. Твердження буде тим точніше, чим більший об’єм вибірки.

Особливість законів розподілу таких випадкових величин як похибки приладів і результатів вимірювань, полягає в їх великій різноманітності. Це викликано тим, що результуюча похибка приладу чи результату вимірювання складається із ряду складових. Якщо ці складові розглядати як випадкові величини, то додавання похибок зводиться до додавання випадкових величин. Але при додаванні випадкових величин закони їх розподілу різко міняють свою форму.

Для використання на практиці імовірнісного підходу до оцінки похибок як засобів, так і результатів вимірювань, перш за все буває необхідно встановити для даної конкретної похибки вигляд аналітичної моделі закону розподілу. Розподіли ж достатньо різноманітні: одні обмежені, інші не обмежені, одні мають плоску вершину, другі – круглу, треті гостру, а деякі і дві круглі чи гострі вершини.

Часто статистична обробка експериментальних даних при прямих вимірюваннях базується на використанні нормального закону розподілу. Це викликано тим, що при визначенні гарантійного інтервалу за формулою припускається, що закон розподілу похибок нормальний. В даній формулі коефіцієнт Стюдента, який залежить від гарантійної імовірності і числа результатів спостережень ; середнє квадратичне відхилення результату вимірювання .

З іншого боку, маючи інтегральну функцію нормального розподілу , можна обчислювати гарантійну імовірність .

Нормальний закон розподілу характеризується густиною імовірності

/7.1/

де результат вимірювання, математичне очікування, середнє квадратичне відхилення випадкових величин.

Необхідно перш за все вияснити, чи не протирічить розподіл одержаних результатів в даній вибірці нормальному закону. Це роблять безпосередньо після виключення систематичних похибок. Перевірку можна робити ана­літичним чи графоаналітичним способами.

Цієї мети можна досягти, використовуючи також методи, які роз­глядаються в ГОСТ 11.006-74 і ГОСТ 8.207-76.

В даній лабораторній роботі використовується графоаналітичний спосіб. Цей спосіб вимагає використання імовірнісної сітки, на якій за певни­ми правилами будують графік емпіричного розподілу (для вибірки, що аналізується).

По конфігурації цього графіка судять чи дослідний розподіл відповідає нормальному закону (ГОСТ II.008-75). Існує декілька варіантів такої побудови. Найбільш простим є варіант з нескладними об­численнями і прямолінійним графіком для нормального закону розпо­ділу. Даний варіант може застосовуватися у вибірках з числом спо­стережень від 7 до 40. Для цього спочатку впорядковують вибірку, розмістивши всі спостереження в зростаючому порядку: . Цю вибірку розбивають на 7 інтервалів (розрядів). Ціну розряду (ширину інтервалу) визначаюсь за формулою

/7.2/

де ; ; поле або зона розсіювання.

Знаходять середину кожного розряду

, /7.3/

Після цього підраховують скільки вимірів потрапляє в кожний розряд, тобто частоти . При цьому найбільші розміри включають до нас­тупного розряду.

Підраховують “накопичені частоти” наростаючою сумою (су­ма значень від початку до даного включно; для останньої -ї строки ), після чого обчислюють значення інтеграла Лапласа

/7.4/

Таблиця 1

Ф (у)	у	Ф(у)	у	Ф(у)	у	Ф(у)	у
0,01	0,025	0,16	0,41	0,31	0,88	0,460	1,75
0,02	0,050	0,17	0,44	0,32	0,92	0,465	1,81
0,03	0,075	0,18	0,47	0,33	0,95	0,470	1,88
0,04	0,10	0,19	0,50	0,34	0,99	0,475	1,96
0,05	0,13	0,20	0,52	0,35	1,04	0,480	2,05
0,06	0,15	0,21	0,55	0,36	1,08	0,485	2,17
0,07	0,18	0,22	0,58	0,37	1,13	0,490	2,33
0,08	0,20	0,23	0,61	0,38	1,18	0,492	2,41
0,09	0,23	0,24	0,64	0,39	1,23	0,494	2,51
0,10	0,25	0,25	0,67	0,40	1,28	0,495	2,58
0,11	0,28	0,26	0,71	0,41	1,34	0,496	2,65
0,12	0,31	0,27	0,74	0,42	1,41	0,497	2,75
0,13	0,33	0,28	0,77	0,43	1,48	0,498	2,88
0,14	0,36	0,29	0,81	0,44	1,55	0,499	3,10
0,15	0,39	0,30	0,84	0,45	1,64	0,4999	4,00

Знаючи , з табл.1 (інтеграл Лапласа ) знаходять відповідне значення . Для кожної пари значень і відмічають точку в прямокутній системі координат з рівномірною шкалою ( по вісі абсцис, по вісі ординат), з’єднавши точки, отримують графік функції . Якщо цей графік, наближено прямолінійний, то дана вибірка вимірів не протирічить нормальному закону розподілу (рис.7.1). Якщо ж графік криволінійний, то вибірка не відповідає нормальному закону.

Рис.7.1.