6. Приклади розв’язування задач

6.1. Довгий рівномірно заряджений по поверхні циліндр радіуса r=1 см рухається зі швидкістю =10 м/с вподовж своєї осі. Напруженість електричного поля безпосередньо біля поверхні циліндра Е=0,9 кВ/см. Визначити силу струму, зумовленого механічним переносом заряду.

Р озв’язування

r = 1 см = 1∙10^-2 м

 = 10 м/с

Е = 0,9 кВ/см = 9∙10⁴ В/м

I - ?

Оскільки струм створюється рухомим макроскопічно зарядженим тілом, то він є конвекційним. За визначенням сила конвекційного (як і будь-якого іншого за природою) струму

I=Δq/Δt, (а)

де Δq – заряд, що переноситься циліндром за час Δt через площу, яка дорівнює площі поперечного перерізу провідника.

За теоремою Гаусса знаходимо:

(б)

Тут 2πrυΔt – поверхня провідника довжиною Δl, на якій зосереджений заряд Δq, що переноситься цією ділянкою провідника за час Δt; Е_n=Е, оскільки лінії вектора перпендикулярні до поверхні циліндра.

На підставі (а) і (б) отримуємо:

(в)

Перевірка розмірностей у СІ:

Підставивши дані задачі у формулу (в), отримуємо:

Відповідь: I = 5 мкА.

6.2. Зазор між обкладками плоского конденсатора заповнено склом з питомим опором =100 ГОмм. Ємність конденсатора С=4 нФ. Визначити силу струму між обкладками конденсатора, якщо його приєднати до джерела напругою U=2 В.

Р озв’язування

ρ = 100 ГОм∙м = 1∙10¹¹ Ом∙м

С = 4 нФ = 4∙10^-9 Ф

U = 2 В

 = 7

I - ?

За законом Ома сила струму в однорідному провіднику довжиною d і площею поперечного перерізу S дорівнює

(а)

Електроємність плоского конденсатора (б)

Об’єднавши формули (а) і (б), отримуємо:

(в)

Перевірка розмірностей у СІ:

За даними умови задачі і формулою (в) знаходимо:

Відповідь: I = 1,3 нА.

6.3. Який заряд q пройде по провіднику, якщо напротязі часу t=10 c сила струму зменшилась від І₀=10 А до І=5 А, опір провідника рівномірно збільшувався, а різниця потенціалів між кінцями провідника залишалася незмінною?

Розв’язування

t = 10 с

I₀ = 10 A

I = 5 A

U = const

q - ?

За умовою задачі опір провідника з часом змінювався за лінійним законом:

R=R₀+kt, (а)

де R₀ і R – відповідно початковий і кінцевий опори провідника, k – стала величина, що визначає швидкість зміни опору. За законом Ома для однорідної ділянки провідника отримаємо:

(б)

Миттєве значення сили струму:

(в)

На підставі формул (а), (б), (в) знаходимо:

(г)

Із формули (б) маємо: R=U/I; R₀=U/I₀; k=U(I₀-I)/II₀t. Підставивши ці три співвідношення у формулу (г), отримуємо формулу для обчислення повного заряду, що проходить через поперечний переріз провідника за проміжок часу t:

(д)

Розмірність очевидна. За формулою (д) та умовами задачі знаходимо:

q=100ln2=69,3 (Кл).

Відповідь: q = 69,3 Кл.

6.4. Визначити густину струму в мідному провіднику довжиною l=10 м, якщо різниця потенціалів на його кінцях U=12 В.