1. ОЦенка числовых характеристик для нормального закона распределения

Функция правдоподобия

оЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Расчет корреляционной матрицы V

;

2. Оценка показателей надежности Ла

На стадии эксплуатации, когда производится использование изделий по назначению, происходит реализация заложенной и обеспеченной на пре­дыдущих стадиях его надежности. На этой стадии проявляются и тех­нико-экономические последствия низкой надежности, приводящие к по­терям от ущерба и простоя техники, к затратам на устранение отказов и на приоб­ретение запасных частей. Для обеспечения надежности изделий на требуемом уровне необходимо проводить прогнозирование их надежности на всех этапах жизненного цикла. Методы прогнозирования надежности по результатам испытаний на этапе экспериментальной отработки изложены в работах Волкова Л.И. [1 ]. Интересный подход к оценке динамики изменения надежности в процессе эксплуатации изделия рассмотрен в работе [ 10 ]. В данной работе. предложена аналитическая модель оценки характеристик надежности, позволяющая в зависимости от результатов испытаний получать различный характер изменения надежности, соответствующий различным этапам жизненного цикла изделия.

При решении задачи предположим, что изделие содержит M источников отказа. Кроме того предполагается, что выявленные при испытаниях неисправности устраняются, а новые не вносятся, что соответствует модели « выжигания отказов». Для математического описания процесса отработки введем в рассмотрение случайную величину , характеризующую число отказов в i – ом испытании. Если отказов нет, =0; если выявлено k отказов, =k. Для прогнозирования изменения надежности с учетом деградационных процессов, протекающие в агрегатах в процессе их эксплуатации, воспользуемся законом распределения Вейбулла

_{, (1)}

где l(t) = - интенсивность отказа; l; n - параметры закона распределения Вейбулла.

В этом случае вероятность отказа на i – ом цикле отработки продолжительностью будет равна

(2)

В рассматриваемом случае функция правдоподобия может быть представлена в виде

(3)

Подставляя выражение для q(i) в соотношение ( 3 ) и производя логарифмирование, получим

(4)

Согласно принципу максимального правдоподобия в качестве оценок параметров

и принимаются такие значения этих параметров, которые обеспечивают максимум функции ln L [ 1 ].

Таким образом искомые параметры должны удовлетворять системе алгебраических уравнений

; (5)

Производя дифференцирование, получим

=0 (6)

Разрешая уравнения ( 6 ) относительно неизвестных и получим искомые значения оценок и . Графическое решение этой системы представлено на рис. 1

Рис.1 Графическое решение системы алгебраических уравнений ( ).

При проведение расчетов были приняты следующие исходные данные:

M=20 ; .

Как видно из рисунка системе (6) удовлетворяют следующие значения искомых параметров: и .

Для нахождения дисперсии полученных оценок рассмотрим вторые производные функции правдоподобия по искомым параметрам

+ --

-- (7)

где ,

Соответственно для математических ожиданий частных производных получим

; (8)

;

где

При выводе математического ожидания для смешанной производной учитывалось, что согласно второму уравнению (6) справедливо равенство

Дисперсии и коэффициент корреляции искомых оценок и удовлетворяют матрице рассеивания [ 1 ]

(9)

Математические ожидания и рассчитываются по соотношениям

, , , (.10)

где ; ; i=2,3…n.

При проведении расчетов в качестве значений и принимаются оценки этих параметров отвечающие системе алгебраических уравнений ( 6 ).

Результаты расчета параметра для принятых выше исходных данных представлены ниже

В программе расчета принято обозначение : R(i) =

Полученный результат согласуется с исходными данными по отказам . В примере представлено также прогнозируемое значение математического ожидания числа отказов на следующем шаге R(5)=1.996.

Согласно ( 9 ) матрица рассеивания оценивается по соотношению

Таким образом для принятых исходных данных получим:

, ,

Следовательно коэффициент корреляции оценок и будет отрицательным

.

Интенсивность отказа одного источника отказа по циклам отработки i будет меняться согласно распределению Вейбулла

Изменение среднего квадратического отклонения оценки интенсивности отказа одного элемента приближенно можно оценить по методу линеаризации

При проведении расчетов были приняты следующие обозначения:

, ,

Результаты расчетов представлены на рис. 2

Рис. 2 Изменение интенсивности отказа по циклам отработки и

ее среднеквадратического отклонения .

Вероятность безотказной работы одного источника отказа по циклам отработки i будет меняться согласно распределению Вейбулла

Изменение среднего квадратического отклонения оценки вероятности безотказной работы одного элемента P(i) приближенно можно оценить по методу линеаризации

При проведении расчетов были приняты обозначения введенные выше:

, , K=

Результаты расчетов представлены на рис. 3

Рис.3 Изменение вероятности безотказной работы по циклам P(i) и

ее среднеквадратического отклонения .

Очевидно представленные выше оценки соответствуют результатам испытаний элементов стареющего типа. При этом интенсивность отказа растет, что приводит к увеличению количества отказов в процессе эксплуатации изделия.

Другая ситуация реализуется при отработке изделий. В этом случае с увеличением числа испытаний происходит улучшение работоспособности устройства за счет выявления и устранения неисправностей. Соответственно число отказов по циклам отработки будет убывать. Для иллюстрации этой ситуации проведем аналогичный анализ для следующих исходных данных

Неизвестные параметры удовлетворяют системе алгебраических уравнений ( 6 ) Графическое решение этих уравнений представлено на рис. 4.

Рис. 4 Графическое решение системы алгебраических уравнений ( ).

Как видно из графика уравнения удовлетворяются при значениях

Интенсивность отказа одного источника отказа по циклам отработки i будет меняться согласно распределению Вейбулла

Изменение интенсивности отказа по числу циклов отработки представлено на рис. 5

Рис. 5 Изменение интенсивности отказа изделия по циклам его функционирования.

При этом количество выявленных неисправностей оценивается по соотношениям (10 )

Как видно из расчета оцениваемое число отказов согласуется с исходными данными.

В общем случае ,помимо стратегии рассмотренной выше, предполагающей, что при испытаниях неисправности устраняются , возможны ситуации, когда отказавшие элементы заменяются на новые, либо их характеристики улучшаются или ухудшаются

после проведения доработок.