2.5 Контрольные вопросы

1. Что называется измерением?

2. Перечислите виды измерений.

3. Перечислите методы измерения.

4. Что называется средством измерения?

5. Перечислите метрологические характеристики средств измерения.

6. Дайте определение класса точности средств измерения.

7. Какие способы представления класса точности вы знаете?

8. Что называется погрешностью измерения?

9. Как классифицируются погрешности измерений?

10. Как исключаются грубые погрешности?

11. Как определяется систематическая погрешность?

12. Перечислите законы распределения случайных величин и их основные характеристики.

13. Дайте определение математического ожидания и дисперсии.

14. В чем суть принципа максимального правдоподобия?

15. Приведите формулы для расчета оценок математического ожидания и дисперсии.

16. Как осуществляется идентификация законов распределения случайной величины.

Лабораторная работа № 3

Обработка результатов прямых измерений.

Определение интервальных оценок

3.1 Цель работы

Овладение практическими навыками оценки доверительных интервалов.

3.2 Теоретическая часть

Многократные измерения позволяют получить более точные значения измеряемых параметров и статических характеристик погрешностей. Перед обработкой результатов необходимо:

1. убедиться в отсутствии изменения систематических погрешностей, пользуясь критерием тренда;

Обнаружение ухода систематической погрешности

Существует несколько способов обнаружения изменяющихся во времени систематической погрешности. Так, можно воспользоваться методом контура или методом наименьших квадратов. Эти методы позволяют не только обнаружить сам факт непостоянства, но и определять зависимость систематической погрешности от времени, что позволит в дальнейшем её исключить. Существуют и методы, позволяющие только обнаруживать изменение погрешности, но не дающие количественной оценки изменений.

Если систематическая погрешность изменяется монотонно, то применяют критерий тренда, сущность которого заключается в следующем:

Пусть получена последовательность из n независимых результатов многократных наблюдений , характеризуемая неравенством вида: где .

Каждое неравенство называют инверсией.

Общее число инверсий: , где - число инверсий для ,

Если последовательность наблюдений не содержит медленных изменений систематической погрешности, то число инверсий – дискретная величина с плотность вероятности , зависящей только от n и математического ожидания.

.

При закон распределения для числа инверсий нормализуется.

Если в ходе наблюдений систематическая погрешность увеличивается, то в среднем увеличивается и последующие результаты по сравнению с предыдущими, следовательно, уменьшается число инверсий. Если число инверсий окажется вне интервала (критическая область) выбранного для данной вероятности , то считают, что существует достаточно оснований для принятия гипотезы об уходе систематический погрешности. Если результаты наблюдений не содержат ухода систематический погрешности, то с вероятностью общее число инверсий окажется в пределах (табл. 3.1).

Вероятность попадания числа инверсий в критическую область (вне интервала ) называют уровнем значимости и выбирают малой: от 0,01 до 0,1.

Таблица 3.1 Границы для числа инверсий

при заданной вероятности

n	α = 0,1		α = 0,05
	A­Н	AВ	A­Н	AВ
10	13	31	11	33
14	30	60	27	63
20	69	120	64	125
30	171	263	162	272
50	756	1013	731	1038
70	1045	1369	1014	1400
100	2198	2751	2145	2804

Пример.

Пусть получены результаты десяти измерений с многократными наблюдениями.

Для расчёта числа инверсий каждое значение следует сравнить со всеми последующими значениями. Для первого результата неравенство выполняется в двух случаях: и , следовательно, число инверсий . Сравнивая дальнейшие результаты наблюдений, таким же образом, получим:

Общее число инверсий .

Из таблицы 3.1 следует, полученное значение попадает в интервал следовательно, с уровнем значимости α = 0.05 можно принять гипотезу об отсутствии ухода систематической погрешности.

Нахождение доверительных интервалов

Если предположить закон распределения оценок нормальными, то можно ввести так называемые доверительные интервалы, которые накрывают точечную оценку с заданной доверительной вероятностью. Доверительная вероятность выбирается близкой к единице. Зная закон распределения и доверительную вероятность можно определить доверительный интервал. В справочниках имеются таблицы распределения ошибок, составленные для заданного количества измерений и заданной доверительной вероятности.

Нижняя и верхняя границы доверительных интервалов вычисляются по формулам:

где Х – оценка истинного значения измеряемой величины;

 – оценка среднего квадратического отклонения случайной величины от Х;

t – квантиль, взятая для доверительной вероятности и числа измерений из таблицы приложения 3С.