5. Поэлементные и матричные операции
Ранее
было отмечено, что Matlab
представляет числа в виде массива
.
Отсюда следует, что для операций над
векторами и матрицами можно использовать
те же знаки операций, что и для скалярных
данных. Так, например, сложить два вектора
одной размерности можно при помощи
обычного "+"
>> x=1:4
x =
1 2 3 4
>> y=10:10:40
y =
10 20 30 40
>> z=x+y
z =
11 22 33 44
Векторы
складываются поэлементно
,
,
где т –
длина суммируемых векторов. В результате
сумма является вектором того же размера,
что и векторы-слагаемые. Аналогично и
для матриц. Сумма (разность) двух матриц
равна матрице, каждый элемент которой
есть сумма (разность) соответствующих
элементов матриц-слагаемых размером
:
,
,
.
Поэлементно можно применять к массивам
элементарные математические функции
(см. табл. 1.4), операции отношения и
логические операции (см. табл. 1.5).
Например, вычислить значения
для
с шагом 30° можно следующим образом:
>> x=0:pi/6:pi;
>> y=sin(x)
y =
0 0.5000 0.8660 1.0000 0.8660 0.5000 0.0000
Поскольку х – вектор-строка, то у будет вектором того же размера, что и х.
С
операциями типа "умножение"
(возведение в степень, умножение и
деление) несколько сложнее. Дело в том,
что в Matlab имеется два различных типа
арифметических операций типа "умножение"
– поэлементные и для массивов в целом
(матричные). Матричные арифметические
операции определяются правилами линейной
алгебры. Например, поэлементное умножение
матриц A
и B
размером
выполняется в соответствии с равенством:
,
,
.
Матрицы-сомножители при таком умножении
должны быть одно размера. Матричное же
умножение двух матриц возможно только
в том случае, когда число столбцов первой
матрицы равно числу строк второй.
Произведением матрицы А
размером
на матрицу B
размером
является матрица с
размером
,
каждый элемент i-ой
строки и k-го
столбца которой равен сумме локальных
произведений соответственных элементов
i-ой
строки матрицы А
и k-го
столбца матрицы B:
,
,
.
В общем случае умножение матриц не
коммутативно, т.е. ab ≠ ba.
Возведение матрицы в целую степень р
возможно только для квадратных матриц.
Если р
– положительное целое, то Ар
эквивалентно умножению матрицы А
саму на себя р
раз. Операция вычисления матрицы а–1,
называемая обращением матрицы а,
возможна только для квадратной матрицы
с определителем, не равным нулю. Если р
– отрицательное целое, то Ар
эквивалентно умножению обратной матрицы
саму на себя р
раз.
Знак точки "." отличает операции над элементами массивов от матричных операций. Сравните
A1=[2 3; 4 5]; A2=[1 4; 6 2]; %задаются матрицы 2×2
A3=a1*a2 % матричное умножение матриц
A3 =
20 14
29 28
A4=a1.*a2 % поэлементное умножение матриц
A4 =
2 12
30 8
Символ "%" отделяет комментарий (пояснительный текст) от команд.
>> a=[1 2 3; 0 4 5] % задается матрица 2×3
a =
1 2 3
0 4 5
>> a.^2 %поэлементное возведение в квадрат
ans =
1 4 9
0 16 25
>> a^2 %матричное возведение в квадрат
??? Error using ==> mpower
Matrix must be square.
Попытка возвести в квадрат прямоугольную матрицу вызвала ошибку использования матричного произведения с сообщением "Матрица должна быть квадратной".
Примеры наглядно демонстрируют, что для одних и тех же матриц результаты поэлементных и матричных операций типа "умножение" разные! Арифметические операции типа "сложение" над массивами всегда выполняются поэлементно, поэтому операции ".+" и ".-" не существуют.
В
математике не определена операция
деления матриц и векторов. Но в Matlab
символы /
и \
используются для решения матричных
уравнений. Операция b/a
эквивалентна операции b*inv(a),
где функция inv
осуществляет обращение матрицы. Эту
операцию удобно использовать для решения
матричного уравнения
.
Операция а\b
равносильна операции inv(a)*b,
которая представляет собой решение
матричного уравнения
.
При помощи оператора /
можно поделить вектор или матрицу на
число. Например
>> v=4:2:10
v =
4 6 8 10
>> w=v/2
w =
2 3 4 5
Попытка поделить число на вектор или матрицу вызовет ошибку
>> q=2/v
??? Error using ==> mrdivide
Matrix dimensions must agree.
Matlab сообщает об ошибке использования матричного деления. Размеры матриц должны быть согласованы.
А вот операция поэлементного деления пройдет в обоих случаях.
>> q=2./v
q =
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
Здесь значение 2 было поочередно поделено на каждый из элементов вектора v. И каждый из элементов вектора может быть поделен на 2
>> w=v./2
w =
2 3 4 5
Из примеров видно, что при делении или умножении вектора (матрицы) на скаляр поэлементные операции не отличаются от матричных
>> w=v/2
w =
2 3 4 5
т.е. точку перед знаком операции в этих случаях ставить не обязательно.