5. Скорость при векторном способе задания движения.

Пусть за время Δt точка переместилась из М в М (рис.7) , вектор Δ - вектор перемещения. Средней скоростью точки за время Δt называется вектор _ср = Δ /Δt. Скоростью точки в данный момент времени называется предел, к которому стремится отношение вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло, при стремлении последнего к нулю :

= lim Δ /Δt

Δt

Из рис. 7 видно, что: (t) + Δ = (t+Δt) тогда: Δ = (t+Δt) - (t), и

= lim Δ /Δt = lim( (t+Δt) - (t)) / Δt = d / dt.

Δt Δt

то есть, скорость точки в данный момент времени равна первой производной от радиуса вектора по времени. Из рисунка видно, что вектор скорости в данный момент времени занимает положение касательной. Скорость измеряется в м/с.

6. Ускорение при векторном способе задания движения.

Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое оно произошло: _ср=Δ /Δt.

У скорением точки в данный момент называется предел этого отношения при стремлении промежутка времени к нулю.

= lim Δ /Δt = lim( (t+ Δt) - (t))/ Δt.

Δt Δt

Ускорение равно первой производной от скорости или второй производной от радиуса вектора по времени:

= d /dt = d /dt .

Ускорение _ср, а значит и ускорение в данный момент времени - направлено в сторону вогнутости траектории (рис.8). Ускорение измеряется в м/с².

7. Скорость при координатном способе задания движения.

Известно, что: =d /dt, но =x· +y· +z· , тогда (т.к. , , - const):

= dx/dt· +dy/dt· +dz/dt· , (1)

С другой стороны: = v · +v · +v · . (2)

сравнивая (1) и (2) получим: v_х = dx/dt; v_у = dy/dt; v = dz/dt, т.е. проекция скорости на ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени. Зная проекции можно найти модуль скорости:

= , а так же направляющие косинусы:

соs( ; ) = v_x / | | ; соs( ; ) = v_y / | |; соs( ; ) = v_z / | |.

8. Ускорение при координатном способе задания движения.

Известно, что: = d /dt, но = v_x· + v_y· + v_z· , тогда:

= dv _x /d t · +dv_y /d t · +dv_z /dz · , (1)

с другой стороны : = а_х · + а_у · + а_z· . (2)

сравнивая (1) и (2) получим:

а _x =dv _x /dt =d x / dt ; а_y=dv_y/ dt =d y / dt ; а =dv_z /dt =d z / dt . то есть: проекция ускорения на ось равна первой производной от проекции скорости на ту же ось, или второй производной от соответствующей координаты по времени.

Модуль ускорения : | | = , направляющие косинусы:

соs ( ; ) = а_x / | | ; соs( ; ) = а_y / | |; соs ( ; ) = а_z / | |.

9. Скорость при естественном способе задании движения.

Известно : = lim Δ /Δt ∙ Δs/ Δ s= lim Δ /Δs ∙ limΔs/ Δt.

Δt Δs Δt

Так как первый предел по модулю равен единице, а направлен по касательной, то он равен (тау), обозначим: ds/dt = v _τ , тогда: = v _τ ∙ .