Примеры решения задач

Пример 1. Три прямолинейных бесконечно длинных проводника с токами I₁ = I₂ = I и I₃ = 2I расположены горизонтально и лежат в одной плоскости. Направления токов показаны на рис. 4.1. Расстояния АВ = ВС = d = 5 см. Найти точку на прямой АС, в которой напряженность магнитного поля, созданного токами I₁, I₂ и I₃, равна нулю.

Дано: I1 = I2 = I I3 = 2I АВ = ВС = = d = 5 см НD = 0	В единицах СИ: d = 0,05 м	H2 + I1 I2 I3 - ------------------------------------------- A D H3 B C х H1 d d Рис. 4.1
Найти: АD = х – ?

Р

7 8

ешение. В любой точке на линии АВС векторы напряженностей магнитного поля Н₁, Н₂ и Н₃ направлены вертикально вдоль одной прямой (касательные к силовым линиям магнитных полей, создаваемых токами I₁, I₂ и I₃). Направления этих векторов можно получить, используя правило правого винта. Суммарный вектор напряженности поля H_D в точке D следует искать как сумму векторов Н_i:

Н_D = Н₁ + Н₂ + Н₃. (71)

Модуль же вектора напряженности магнитного поля H_D в точке D будет представлять собой алгебраическую сумму напряженностей Н₁, Н₂ и Н₃ с учетом их знака, каждая из которых будет определяться по формуле

(72)

Проанализируем возможные варианты расположения искомой точки D на прямой АС, в которой

Н_D = Н₁ + Н₂ + Н₃ = 0. (73)

В качестве положительного направления оси выберем направление вверх.

1. С учетом сказанного можно сразу отбросить вариант расположения искомой точки между токами I₂ и I₃ (где Н₁, Н₂ и Н₃ направлены вертикально вниз и H_D в принципе не может быть равна 0).

2. При расположении искомой точки левее I₁ Н₁ и Н₂ направлены вверх, а Н₃ – вниз, то есть H_D = Н₁ + Н₂ – Н₃. В этом случае H_D также не может быть равна нулю, так как, согласно (2), H₁ + H₂  H₃, (ток I₃ = 2I₁ = 2I₂, но расстояние от проводников «1» и «2» до искомой точки D меньше расстояния до нее от проводника «3»).

3. По аналогичной причине не подходит и расположение искомой точки правее тока I₃ , где Н₁ и Н₂ направлены вниз, а Н₃ - вверх, но в итоге тоже H₁ + H₂  H₃.

4. Таким образом, в принципе удовлетворяющим требованию условия (3) оказывается только расположение искомой точки между проводниками «1» и «2», где Н₁ и Н₃, направленные вниз, могут быть уравновешены магнитным полем проводника «2» (H₂ направлено вверх). В этом варианте различие в токах может быть скомпенсировано различием расстояний от искомой точки до проводников.

Найдем положение искомой точки (рис. 4.1). Векторное уравнение Н_D = Н₁ + Н₂ + Н₃ = 0 в данном случае переходит в скалярное в виде H₂ – (H₁ + H₃) = 0, поэтому, согласно (73) имеем:

Ответ. Точка, в которой напряженность магнитного поля равна нулю, находится между токами I₁ и I₂ на расстоянии 3,3 см от тока I_1.

Пример 2. Бесконечный прямолинейный проводник расположен перпендикулярно плоскости кругового проводника радиусом R = 20 см и проходит от его центра на расстоянии, равном половине радиуса d = R/2. По прямому проводнику течет ток I_пр = 1,57 А, а по круговому – I_кр = 2 А. Определить напряженность магнитного поля в точке О на оси кругового витка, удаленной от любой точки витка на расстояние r = 30 см. (рис. 4.2).

Дано: Iпр.=1,57 А Iкр.= 2 А R = 20 см r = 30 см d = R/2	В единицах СИ: R = 0,2 м r = 0,3 м	Нкр НО О Нпр h r R Iкр R/2 Iпр Рис.4.2
Найти: HО

Решение. Напряженность магнитного поля на оси кругового витка направлена вдоль оси витка (рис. 4.2) в соответствии с правилом правого винта и равна:

(74)

Напряженность магнитного поля бесконечного прямолинейного тока равна:

(75)

Для определения направления вектора Н_пр проведем силовую линию магнитного поля тока I_пр, проходящую через точку О, и определим направление вектора Н_пр по правилу правого винта. Касательная к силовой линии в точке 0 и дает направление Н_пр (рис. 4.2). Построим результирующий вектор Н_О. Так как вектора Н_пр и Н_кр перпендикулярны друг другу, то модуль Н_О определяются формулой:

(76)

Учитывая, что и получим окончательно:

Н_О = (77)

Проверим размерность полученного выражения:

.

Произведем вычисления по формуле (77):

Ответ. Напряженность магнитного поля в искомой точке О на оси кругового витка равна 2,91 А/м.

Пример 3. Медный проводник длиной l = 30 см подвешен на тонких нитях (рис. 4.3). При прохождении по нему тока I = 1,8 А он отклонился в однородном магнитном поле (В = 0,3 Тл) так, что нити образовали с вертикалью угол β = 40˚. Определить диаметр проводника.

9 10

Дано: l = 30 см В = 0,3 Тл I = 1,8 А	В единицах СИ: l = 0,3 м	   Тн  I F  FА  l mg В а б Рис. 4.3
Найти: d

Решение. На рис. 4.3 б показано сечение проводника вертикальной плоскостью, проходящей через его середину, и равнодействующие сил, приложенных к проводнику: силы тяжести mg, силы натяжения нитей Т_н и силы Ампера F_A.

Условие равновесия для отклонившегося проводника имеет вид:

T + mg + F_A = 0. (78)

Обозначим результирующую сил T и mg через F (F = mg + T).

Теперь уравнение (78) примет вид F + F_A = 0  F =  F_A, то есть эти силы направлены по одной прямой (горизонталь), равны по модулю и противоположны по направлению.

Треугольник сил подобен геометрическому треугольнику и, соответственно, с учетом соотношения F_А = IBlsin, имеем:

(79)

Из условия задачи следует, что β = 90˚, т. е. sin = 1. Массу проводника можно представить следующим образом:

(80)

где  – плотность меди, S – площадь сечения проводника.

Из (79) и (80) следует, что

Отсюда находим:

11 12

(81)

Проверим размерность полученного выражения:

Произведем вычисления по формуле (81), используя табличное значение кг/м³:

.

Ответ. Диаметр проводника, подвешенного в магнитном поле, равен 3,5 мм.

Пример 4. Элементарная частица влетела в масс-спектрограф и, пройдя ускоряющую разность потенциалов 10,79 кВ, попала в однородное магнитное поле (В = 150 мТл), где описала окружность радиусом 15 см. Определить, что это за частица.

Дано: U = 24,25 кВ В = 150 мТл B = const R = 15 см	В единицах СИ: U=24,25103 В; B = 0,15 Тл; R = 0,15 м	Решение. Индивидуальность элементарных частиц, ядер и т.п. количественно характеризуется величиной, называемой «удельный заряд» и определяемой как отношение заряда частицы к ее массе. Таким образом, определив удельный заряд изучаемой частицы, можно идентифицировать ее по справочнику, где приводятся характеристики подобных объектов.
Найти: Идентифицировать частицу.

Из формулы для силы Лоренца F = Q [v  B] и из того факта, что частица в магнитном поле движется по окружности, следует вывод, что в магнитное поле она влетела по углом  = 90^° к направлению магнитной индукции. Поэтому уравнение движения частицы согласно 2-му закону Ньютона выглядит так:

(82)

Пройдя ускоряющую разность потенциалов в электрическом поле, частица приобрела кинетическую энергию равную работе поля qU по ее разгону. Таким образом, из уравнения можно найти скорость частицы, влетающей в магнитное поле

Подставив полученное выражение для v в уравнение (82), получим:

Отсюда: (83)

Проверим размерность полученного выражения:

Произведем расчет удельного заряда частицы по формуле (83):

По справочным таблицам находим, что такой удельной заряд имеет протон

Ответ. Идентифицируемая в масс-спектрографе частица оказалась протоном.

П

13 14

ример 5. Соленоид был выполнен из провода диаметром d = 0,25 мм (витки соленоида плотно прилегают друг к другу), намотанного в один слой на картонный каркас диаметром D = 4 см и длиной обмотки l = 30 см . Чтобы увеличить индуктивность соленоида на 10 мГн, его обмотку сняли и заменили обмоткой из более тонкого провода с таким расчетом, чтобы длина обмотки осталась прежней. Сколько витков оказалось в обмотке соленоида после его перемотки?

Дано: D = 4 см d = 0,25 мм l = 30 см L= L2 – L1 = = 10 мГн	В единицах СИ: D = 410-2 м d = 2,510-4 м l = 0,3 м ∆L = 110-2 Гн	Решение. Индуктивность соленоида определяется формулой: (84) где – число витков соленоида на единицу его длины; - объем пространства внутри каркаса соленоида. Изменение индуктивности соленоида при изменении числа витков равно, соответственно, (85)
Найти: N2

где n₁ – первоначальное число витков на единицу длины соленоида; n₂ – конечное число витков на единицу длины соленоида.

С учетом приведенных соотношений для n и V соотношение (85) можно записать в виде:

Таким образом, N₂ = (86)

Проверим размерность полученного выражения

Вычислим число витков соленоида после перемотки по формуле (86):

виток.

Ответ. Обмотка соленоида после перемотки содержит 6091 виток.

Пример 6. Квадратный контур со стороной а = 10 см, в котором поддерживается постоянная сила тока I = 10 А, помещен в однородное магнитное поле (В = 0,8 Тл) таким образом, что его плоскость составляет угол с линиями индукции. Какую работу надо совершить, чтобы изменить форму витка с квадратной на круглую при неизменной длине провода и при этом повернуть контур, увеличив угол  на  = 35^о.

Дано: I =10 А В = 0,8 Тл а = 10 см  = 2 - 1 = 35о форма: 	В единицах СИ: а = 0,1 м	1 2 В В 1 2 n n Рис. 4.4
Найти: А12

Решение. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле равна:

Здесь Ф - изменение магнитного потока через поверхность контура:

15 16

где  - угол между нормалью к рамке и вектором В.

При этом, согласно условию задачи,

При изменении формы контура с квадратной на круглую длина провода не менялась, то есть периметр квадратного контура равен длине окружности круглого витка:

Соответствующие площади контуров равны: а

В итоге имеем:

Проверим размерность:

.

Произведем вычисления:

Ответ. А₁₂ = 4,7  10^-2 Дж.

Пример 7. Проводник с длиной активной части l = 1,5 м расположен в однородном магнитном поле (В = 0,5 Тл) перпендикулярно силовым линиям поля. Проводник подключен к элементу питания с ЭДС  = 3 В (внутренним сопротивлением источника и подводящих проводов можно пренебречь). Определить, в каком направлении и с какой скоростью в плоскости, перпендикулярной полю, надо перемещать проводник, чтобы через него не шел электрический ток.

Дано: I  B; v  B l = 1,5 м  = 3 В В = 0,5 Тл В = const; I = 0	В единицах СИ:	I  v     B   +  Iинд     – Iинд v     
Найти: v		Рис. 4.5

Решение. При движении проводника в магнитном поле ток в проводнике определяется алгебраической суммой тока, обусловленного элементом питания, и индукционного тока, обусловленного движением проводника. Таким образом, закон Ома в данном случае может быть записан в виде:

По условию задачи α = 90˚ и значит

(87)

Если направление тока, обусловленного элементом питания, определяется его полярностью (рис. 4.5), то направление индукционного тока зависит от направления движения проводника.

Проанализируем направление индукционного тока для двух возможных вариантов движения проводника («влево» и «вправо»). При движении проводника в магнитном поле _инд определяет работу сторонней силы, каковой является сила Лоренца, заставляющая двигаться свободные электроны проводника.

Определяя ее направление по правилу левой руки, можно видеть, что при движении проводника «влево» сила Лоренца, действующая на положительные заряды, направлена вдоль проводника вниз (соответственно, на электроны проводника действует сила обратного направления – «вверх»). Индукционный ток при этом течет «вниз» (рис. 4.5). При движении проводника «вправо» ситуация меняется на обратную.

Условие задачи («отсутствие тока в проводнике») требует компенсации тока элемента питания индукционным током и, соответственно, может быть реализовано только при движении «вправо», как следует из разобранного выше, (в этом случае I и I_инд направлены в противоположные стороны).

З

17 18

начение модуля скорости движения проводника в этом случае можно получить из выражения (1):

Проверим размерность полученного выражения:

Произведем расчет скорости:

Ответ. Для того, чтобы в проводнике (рис. 4.5) не было электрического тока, проводник должен двигаться вправо со скоростью 4 м/с.

Пример 8*. Рамка, содержащая N = 20 витков провода площадью S = 2 см² каждый, присоединена к баллистическому гальванометру, внутреннее сопротивление которого r_вн = 18 Ом, а баллистическая постоянная С_q = 110^-6 Кл/мм. Сопротивление рамки r_р = 2,0 Ом. Рамка помещена в соленоид таким образом, что силовые линии магнитного поля перпендикулярны плоскости рамки. Определить величину магнитной индукции В в соленоиде, если при переключении тока в его обмотке на обратный в цепи гальванометра протекает количество электричества Q = 60 мкКл. На сколько миллиметров отклонится зайчик на шкале гальванометра?

Дано: N = 20 S = 2 см2 rвн = 18 Ом Сq = 110-6 Кл/мм rр = 2,0 Ом Q = 60 мкКл	В единицах СИ: S = 2  10-4 м Q = 610-5 Кл	Решение. 1. При определении магнитной индукции соленоида с помощью баллистического гальванометра крайнее отклонение баллистического гальванометра во время первого колебания пропорционально количеству прошедшего через гальванометр электричества. При переключении тока в обмотке соленоида L величина потокосцепления , связанного с измерительной рамкой, изменяется, что приводит к возникновению электродвижущей силы индукции:
Найти: В, 

(88)

При этом в цепи гальванометра, соединенного последовательно с измерительной рамкой, проходит электрический ток:

(89)

где dQ – количество электричества, протекающее через гальванометр за время dt; R = r_вн + r_р – суммарное сопротивление гальванометра и измерительной рамки.

Отсюда следует, что при изменении потокосцепления на величину  через обмотку рамки и гальванометр пройдет количество электричества:

(90)

Потокосцепление, связанное с рамкой, равно:

 = NФ = NBS (91)

где N – полное число витков в измерительной рамке; Ф – магнитный поток через виток измерительной рамки; В – магнитная индукция внутри соленоида в месте расположения рамки; S – площадь витка рамки.

При переключении направления тока в цепи соленоида потокосцепление в измерительной рамке, как следует из формул (90) и (91), меняется на величину , равную:

 =  - (-) = 2 = 2 NBS = QR. (92)

Отсюда находим:

(93)

2. Количество электричества Q, прошедшего через баллистический гальванометр, равно:

Q = С, (94)

где С – баллистическая постоянная гальванометра;  - число делений шкалы гальванометра, соответствующее первому отклонению.

19 20

Таким образом, величина отклонения зайчика на шкале гальванометра составит:

 = Q/С. (95)

Произведем расчеты по формулам (93) и (95):

мм,

Ответ. Магнитная индукция внутри соленоида составляет 150 мТл, а величина отклонения зайчика на шкале гальванометра – 60 мм.

Пример 9. При увеличении силы тока в соленоиде в 5 раз энергия магнитного поля увеличилась на W = 24 Дж. Определить значение первоначального тока и энергию магнитного поля соленоида, если он намотан на тонкий картонный каркас медным поводом с диаметром d = 0,2 мм, а объем пространства внутри соленоида составляет V = 3 дм².

Дано: W = W2 –W1 = = 24 Дж V = 3 дм2 d = 0,2 мм	В единицах СИ: V = 310-3 м3 d = 210-4 м	Решение. 1. Энергия магнитного поля соленоида может быть записана в виде: (96) Тогда . (97) Из полученного соотношения (97) находим W1:
Найти: W1; I1

2. Из уравнения (96) следует, что

(98)

Индуктивность соленоида L = _on²V, где n – число витков соленоида, приходящихся на единицу длины, которое при намотке соленоида «виток к витку» можно определить, разделив полное число витков соленоида N на его длину l, т. е. т. к. Nd = l.

В итоге (98) приобретет вид:

(99)

Проверим размерность полученного выражения (99) для электрического тока:

Произведем расчет I₁ по формуле (99):

Ответ. Первоначальные ток и энергия магнитного поля соленоида были равны, соответственно, 4,6 А и 1 Дж.

Пример 10. Катушка индуктивности L = 31 мГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью каждой пластины S = 20 см² и расстоянием между ними d = 1 см. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами, если амплитудные значения силы тока и напряжения в контуре, соответственно, равны I₀ = 0,2 мА и U₀ = 10 В.

21 22

Дано: I0 = 0,2 мА U0 = 10 В S = 20 см2 d = 1 см L = 31 мГн	В единицах СИ: I0 = 2  10-4 А S = 2  10-3 м d =1  10-2 м L = 3,1  10- Гн	Решение. При свободных колебаниях в контуре полная энергия контура периодически перераспределяется между энергией электрического поля, сосредоточенного между обкладками конденсатора, и энергией магнитного поля катушки индуктивности. Поэтому закон сохранения энергии в данном случае можно записать так:
Найти: 

(100)

Из соотношения (100) можно найти величину емкости С:

(101)

Емкость плоского конденсатора определяется выражением:

(102)

Приравняв выражения (100) и (101), получаем:

(103)

Из соотношения (103) в итоге получим:

(104)

Проверим размерность полученного выражения (104):

Произведем расчет  по формуле (104):

Ответ. Диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора, равна 7,0.